1998 Antalya Matematik Olimpiyatı Lise 1-2 Soru 17

[matematikolimpiyati]

Bir $ABC$ üçgeninin $[AB]$ kenarının orta noktası olan $N$'den $[BC]$'ye çizilen paralel doğru $[AC]$ kenarını $M$ noktasında kesiyor. $[BC]$ kenarı üzerinde, $|BP|=2|PC|$ olan olan $P$ noktası alınıyor. $[NM]$ ve $[AP]$ doğrularının kesiştiği nokta $R$ olsun. $ARM$ üçgeninin alanı $1$ ise, $NRPB$ yamuğunun alanı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 3  \qquad\textbf{b)}\ 4  \qquad\textbf{c)}\ 4,5  \qquad\textbf{d)}\ 5  \qquad\textbf{e)}\ 6$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{E}$

$ARM \sim APC $ olup benzerlik oranı $2$ dir. Dolayısıyla $Alan(APC) = 4\cdot Alan(ARM) = 4$ olup $Alan(RPCM) = 3$ olur. $A$ merkezli homotetiden (veya basit benzerliklerden) $\dfrac{|NR|}{|RM|}=\dfrac{|BP|}{|PC|}=2$ olur. Ayrıca $RPCM$ ve $NRPB$ yamukları aynı yüksekliğe sahip olduğundan $Alan(NRPB) = 2\cdot Alan(RPCM) = 2\cdot 3 = 6$ elde edilir.