1998 Antalya Matematik Olimpiyatı Lise 1-2 Soru 19

[matematikolimpiyati]

$x^2-y<-1$ ve $x^2+y<5$ eşitsizliklerini sağlayan kaç tane $(x,y)$ tamsayı ikilisi vardır?

$\textbf{a)}\ 2  \qquad\textbf{b)}\ 3  \qquad\textbf{c)}\ 4  \qquad\textbf{d)}\ 5  \qquad\textbf{e)}\ 5\ \text{ten çok}$

[matematikolimpiyati]

Yanıt: $\boxed{D}$

Verilen eşitsizliklerde ayrı ayrı $y$'yi yalnız bırakarak $x^2+1<y<5-x^2 (*)$ yazabiliriz. Yine bu iki eşitsizliği taraf tarafa toplayarak $2x^2<4 \implies x^2<2 \implies x \in \{-1,0,1\}$ elde ederiz. Bulduğumuz bu $x$ değerlerini $(*)$ eşitsizliğinde yerine koyalım :

$x=-1 \implies 2<y<4 \implies y=3$
$x=0 \implies 1<y<5 \implies y \in \{2,3,4\}$
$x=1 \implies 2<y<4 \implies y=3$

Dolayısıyla eşitsizlik sistemini sağlayan $(x,y)$ tam sayı ikilileri $(-1,3),(0,2),(0,3),(0,4),(1,3)$ olmak üzere toplamda $5$ tanedir.