1998 Antalya Matematik Olimpiyatı Lise 1-2 Soru 15

[matematikolimpiyati]

$P(x)=(1+x+x^2+ ... +x^{99}+x^{100})^3$ polinomunda parantezler açıldıktan sonra, $x^{111}$ in katsayısı ne olacaktır?

$\textbf{a)}\ 6432  \qquad\textbf{b)}\ 6328  \qquad\textbf{c)}\ 6130  \qquad\textbf{d)}\ 5640  \qquad\textbf{e)}\ 5600$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{C}$

Verilen ifadeyi $$P(x)=\left(\frac{1-x^{101}}{1-x}\right)^3=(1-x^{101})^3(1-x)^{-3}=(1-x)^{-3}(1-3x^{101}+3x^{202}-x^{303})$$ olarak yazabiliriz. Burada $x^{111}$'i elde edebilmek için $(1-x)^{-3}$'den $x^{111}$ ve diğer çarpandan $1$ veya $(1-x)^{-3}$'den $x^{10}$ ve diğer çarpandan $x^{101}$ gelmelidir. Bu durumda katsayı $$\left\lvert\dbinom{-3}{111}\right\rvert+\left\lvert\dbinom{-3}{10}\right\rvert\cdot (-3)=\left\lvert\dbinom{-3}{111}\right\rvert-3\left\lvert\dbinom{-3}{10}\right\rvert$$ $$=\frac{|(-3)(-4)\cdots (-113)|}{111!}-3\cdot \frac{|(-3)(-4)\cdots (-12)|}{10!}=\frac{112\cdot 113}{1\cdot 2}-3\cdot\frac{11\cdot 12}{1\cdot 2}=6130$$ elde edilir.

Not: $(1-x)^{-1}=(1+x+x^2+\dots)$ olduğundan buradan gelen katsayılar pozitif olacaktır. Bu yüzden mutlak değer ekledik.