Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2018 Soru 29

[matematikolimpiyati]

$n \geq 23$ olmak üzere, $A_1A_2 \cdots A_n$ düzgün $n$-geninde $A_1A_5,A_2A_7$ ve $A_3A_{23}$ doğruları ortak bir noktada kesişiyorsa, $n$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 38  \qquad\textbf{b)}\ 36  \qquad\textbf{c)}\ 34 \qquad\textbf{d)}\ 32  \qquad\textbf{e)}\ 30$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{A}$

Düzgün $n$-geni çember içinde düşünürsek, çemberde açı formüllerinden, $s(\widehat{A_pA_qA_r})$ açısının $k$, $A_p$ ile $A_r$ arasında kalan ve $A_q$'dan geçmeyen kenarların sayısı olmak üzere $\frac{180^\circ k}{n}$ olduğu görülebilir. $A_1A_5$, $A_2A_7$ ve $A_3A_{23}$ noktaları $X$ noktasında kesişsin. Bize gerekli olacak tüm açıları hesaplayalım. $$s(\widehat{A_2A_1A_5})=\frac{3\cdot 180^\circ}{n},\qquad s(\widehat{A_1A_2A_7})=\frac{(n-6)\cdot 180^\circ}{n}$$ $$s(\widehat{A_{7}A_2A_3})=\frac{4\cdot 180^\circ}{n},\qquad s(\widehat{A_2A_3A_{23}})=\frac{(n-21)\cdot 180^\circ}{n}$$ olduğundan $s(\widehat{A_1XA_2})=180^\circ-\frac{3\cdot 180^\circ}{n}-\frac{(n-6)\cdot 180^\circ}{n}=\frac{3\cdot 180^\circ}{n}$ ve $s(\widehat{A_2XA_{3}})=180^\circ-\frac{4\cdot 180^\circ}{n}-\frac{(n-21)\cdot 180^\circ}{n}=\frac{17\cdot 180^\circ}{n}$ bulunur. $s(\widehat{A_1XA_2})=s(\widehat{A_2A_1X})$ olduğundan $|A_1A_2|=|A_2X|=|A_2A_3|$ olacaktır. $s(\widehat{A_7A_2A_3})=\frac{4\cdot 180^\circ}{n}$ olduğundan ve $A_2XA_3$ ikizkenar olduğundan $s(\widehat{A_2XA_3})=90^\circ-\frac{2\cdot 180^\circ}{n}$ bulunur. $$90^\circ-\frac{2\cdot 180^\circ}{n}=\frac{17\cdot 180^\circ}{n}\implies n=38$$ bulunur.