Öncelikle $2p^2+2p+1>1$ olduğunu görelim. Dolayısıyla $2p^2+2p+1$'in asal böleni vardır. Bir tane asal böleni alalım ve bu $q$ olsun. O halde $$28^p\equiv 1\pmod{q}$$ olacaktır. $q$ ve $28$ aralarında asal olmalıdır çünkü aksi takdirde $1$ kalanını bulamayız. $28$'in $q$ modundaki mertebesi $d$ olsun. Dolayısıyla $d|p$ ve $d|q-1$ olacaktır. Yani $d=1$ veya $d=p$'dir. Eğer $d=1$ ise $q|27$ olacağından $q=3$ olmalıdır. Ancak $$2p^2+2p+1\equiv 0\pmod{3}\implies (2p+1)^2\equiv 2\pmod{3}$$ olur ki bu da imkansızdır. Dolayısıyla $d=p$ olmalıdır, yani $p|q-1$'dir. Buradan $q=pk+1$ formatında bulunur. Yukarıda $q=3$ olamayacağını gördüğümüzden dolayı $k\neq 1$'dir, ayrıca $k\leq 1$ olamaz. Dolayısıyla $k\geq 2$'dir. Ayrıca $q|2p^2+2p+1$ olduğundan $qm=(pk+1)m=2p^2+2p+1$ olacak şekilde bir $m\in\mathbb{Z}^+$ vardır. $p$ modunda incelersek $m\equiv 1\pmod{p}$ elde edilir. Dolayısıyla $m=pt+1$ olacak şekilde bir $t\geq 0$ tamsayısı vardır. Eğer $t\geq 1$ ise $$qm=(pk+1)(pt+1)\geq (2p+1)(p+1)=2p^2+3p+1>2p^2+2p+1$$ olacaktır. Dolayısıyla $t=0$'dır. Buradan da $m=1$ ve $q=2p^2+2p+1$ elde edilir. Yani $2p^2+2p+1$ asal olmalıdır ve pozitif tam bölen sayısı sadece $2$ olabilir. Buna örnek vermeliyiz. $p=7$ için $2p^2+2p+1=113$ ve $$\dfrac{28^7-1}{2\cdot 7^2+2\cdot 7+1}=119406447$$ olur.
