Lise 2. Aşama 2020 Soru 2

[Lokman Gökçe]

Dar açılı bir $ABC$ üçgeninin iç bölgesinde diklik merkezinden farklı bir $P$ noktası alınıyor. $A$ dan $BP$ ve $CP$ ye indirilen dikme ayakları sırasıyla $D$ ve $E$, $P$ den $AB$ ve $A C$ ye indirilen dikme ayakları sırasıyla $F$ ve $G$ dir. $[AP]$ doğru parçasının orta noktası $X$ olmak üzere, $DFX$ ve $EGX$ üçgenlerinin çevrel çemberlerinin ikinci kesişim noktası $BC$ üzerinde yer alıyorsa, $AP \perp BC$ veya $\widehat{PBA}=\widehat{PCA}$ olduğunu gösteriniz.

[diktendik]

Bahsi geçen çemberlerin $\triangle{ABP}$ ve$\triangle{APC}$ ücgenlerinin dokuz nokta çemberleri olduğu söylenebilir. $[BP]$ ve $[PC]$ nin orta noktaları sırasıyla $T$ ve $R$ olsun. $[AB]$ ve $[AC]$ nin orta noktaları sırasıyla $Y$ ve $Z$ olsun. Bahsi geçen çemberlerin $(YTX)$ ve $(XRZ)$ olduğu açıktır. Bu iki çemberin ikinci kesişim noktası $H$ olsun. $\angle{XHT}+\angle{TYX}=180^\circ$ olur. Simetrik şekilde $\angle {XZR}+\angle{XHR}
=180^\circ$ olur. Basit açı taşımayla $\angle{THR}=\angle {TPR}$ elde edilir. $\angle {TLR}=\angle {TPR}$ oldugundan $H$ noktası $\triangle{BPC}$'nin dokuz nokta çemberi üzerindedir. Eğer bu nokta sorunun bize koştuğu "$[BC]$ üzerinde olma" şartını sağlıyorsa, ya $[BC]$'nin orta noktası yada $P$'den $BC$ ye inilen dikme ayağı olur.  ikinci durum ilk koşulu gosterir. ilk durumda ise $\angle{ABP}=\alpha$ olsun. $\angle {PBC}=\beta$ olsun. $\angle{RHC}=\beta$ olacağından ve $\angle{ZLC}=\alpha + \beta$ olacağından (orta tabanlıktan) $\angle{ZLR}=\alpha$ olur. Bu yüzden $\angle{ZXR}=\angle {PCA}=\alpha$ olur. İkinci koşul sağlanır. İspat biter.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$(DFX)$  ve $(EGX)$  çevrel çemberlerinin kesişimine $Q$  diyelim. $Q$  noktası aslında diklik merkezi sisteminde olmayan $A$, $B$, $C$ ve $P$  noktaları için Poncelet noktasıdır. $Q$ Poncelet noktasından $ABC$  ve $BPC$  üçgenlerinin dokuz nokta çemberleri de geçer. Dolayısıyla $Q$  ya noktası $BC$  kenarının orta noktasıdır ya da $P$ 'den inilen dikmedir. Bu aşamadan sonra ilk çözüm takip edilebilir.