Güzel bir diyafont denklem sorusu

[AtakanCİCEK]

$p$ bir asal sayı olsun. Buna göre $(k,l,m,n)$ $$p^k+p^l+p^m=n^2$$ eşitliğinin bir tam sayı çözümü olsun. Buna göre $p=2$ , $p=3$ ya da  $8\mid p+1$ olduğunu gösteriniz.

[Erdal1122]

$k,l,m$ tam sayılarının negatiflik durumu için $p=2,3$ olabileceği görülebilir ($p=3$ için $k=l=m=-1$, $p=2$ için $k=l=-1, m=3$). $p>3$ asal sayıları içinse negatif $k,l,m$ tam sayıları $p^{k, l, m}<\dfrac 13$ olacağından tam sayı olamaz. Öyleyse genelliği bozmadan $0$$\leq$$k$$\leq$$l$$\leq$$m$ kabul edelim.

$p^k(1+p^{l-k}+p^{m-k})=n^2$

yazarsak $(p^k, 1+p^{l-k}+p^{m-k})=1$ olacağından $k$ çift, $1+p^{l-k}+p^{m-k}$ tam kare olmalı.

$1+p^{l-k}+p^{m-k}=a^2 \Longrightarrow(a-1)(a+1)=p^{l-k}(1+p^{m-l})$

$a$ çiftse $(a-1, a+1)=1$ ve $(1+p^{m-l},p^{l-k})=1$olduğundan
$a-1=p^{l-k}, a+1=p^{m-l}+1$* veya $a-1=p^{m-l}+1, a+1=p^{l-k}$**'dir.
* için çözümler $p=2, k=l=m-1$
** için çözümler $p=2, k+2=l=m$'dir.

$a$ tekse $2$ durumda inceleyelim
$a=4b+1, 4b+3$
$a=4b+1$ için

$8b(2b+1)=p^{l-k}(1+p^{m-l})$

$p\neq2$'ye bakalım eşitlik durumunu zaten göstermiştik.
$1+p^{m-l}=8b, p^{l-k}=2b+1$ veya $1+p^{m-l}=16b+8, p^{l-k}=b$'dir.
İlk durum için $4p^{l-k}-4=1+p^{m-l}$ gelir ki sağlayan asal sayı olmadığı $\pmod{5}$'te incelenerek görülebilir. İkinci durum da benzer şekilde yazılırsa $p^{m-l}-16p^{l-k}=7$ elde edilir. Buradan $p=23$ çözümü gelir.
$a=4b+3$ için

$8(b+1)(2b+1)=p^{l-k}(1+p^{m-l})$

Bu ifadede de az önceki gibi aralarında asal ifadeler olduğundan dağıtım sonucu $p^{m-l}-4p^{l-k}=3$ ve $16p^{l-k}-p^{m-l}=9$ elde edilir. İkisinden de $p=7$ gelir. Sağlayan $p$ değerlerinin bulunmasına gerek kalmadan yazılan denklemlerin $\pmod{8}$'de incelenmesi de sağlayan asalların  $p \equiv -1 \pmod{8}$ olduğu gösterebilir. Dolayısıyla $p=2$ , $p=3$ ya da  $8\mid p+1$'dir.

[Squidward]

$p \gt 3$ için $k \ge l \ge m$ ve $k = m+ a, l = m+b$ olsun.

$p^m \cdot p^a + p^m \cdot p^b + p^m = n^2$ eşitliğinde sol taraf $p^m$'e bölündüğünden $n^2 = p^m \cdot l^2$ olmalı, sadeleştirip yazılırsa, $p^a + p^b = l^2 - 1$ olur, $p \equiv \pm1, \pm3, \pmod{8}$ ve $l^2 - 1 \equiv 0, 3, 7 \pmod{8}$ 'dir. Her biri $\text{mod 8}$'de olmak üzere, $p \equiv 1 \implies p^r \equiv 1$; çözüm yoktur. $p \equiv 3 \implies p^r \equiv 1, 3$; çözüm yoktur. $p \equiv 5 \implies p^r \equiv 1, 5$; çözüm yoktur. $p \equiv 7 \implies p^r \equiv 1, 7$; $p^a \equiv 1$ ve $p^b \equiv 7$ ve $l^2 - 1 \equiv 0 \pmod{8}$ çözümü vardır, $8\mid p+1$. $\blacksquare$