Gönderen Konu: Genç Balkan Matematik Olimpiyatı 1998 Soru 1  (Okunma sayısı 2596 defa)

Çevrimdışı Lokman Gökçe

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3.716
  • Karma: +23/-0
  • İstanbul
Genç Balkan Matematik Olimpiyatı 1998 Soru 1
« : Aralık 13, 2019, 07:55:34 ös »
$111\dots 11222 \dots 225$ sayısında $1997$ tane $1$ rakamı ve $1998$ tane $2$ rakamı vardır. Bu sayının bir tam kare olduğunu gösteriniz.
« Son Düzenleme: Aralık 13, 2019, 09:35:29 ös Gönderen: scarface »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı Lokman Gökçe

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3.716
  • Karma: +23/-0
  • İstanbul
Ynt: Genç Balkan Matematik Olimpiyatı 1998 Soru 1
« Yanıtla #1 : Aralık 13, 2019, 09:34:50 ös »
$1111\dots 1122\dots 2225=111111\dots 111+1111\dots 111+3$ şeklinde yazalım. İlkinde $3996$ tane $1$, ikincisinde de $1998$ tane $1$ vardır. Sonlu geometrik toplam formülünden:
$$\dfrac{10^{3996}-1}{9}+\dfrac{10^{1999}-1}{9}+3=\dfrac{10^{3996}+10^{1999}+25}{9}
=\left( \dfrac{10^{1998}+5}{3}\right )^2$$ bir tam karedir. Çünkü $10^{1998}+5 \equiv 1+5 \equiv 0 \pmod 3 $ olup $\dfrac{10^{1998}+5}{3}$ bir tam sayıdır.



Not: 2009'da forumda http://geomania.org/forum/index.php?topic=1612.0 bağlantısında bu soruyu sormuşuz. Aynı çözümü düzenlenerek ekliyorum. (10 yıl geçmiş, ne güzel :) )
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal