Tübitak Lise 1. Aşama 1994 Soru 16

[Lokman Gökçe]

Çakışık olmayan $OA$ ve $OB$ doğruları veriliyor. $OA$ üzerinden seçilen bir noktadan $OB$ ye bir dik iniliyor ve dikmenin $OB$ üzerindeki ayağından $OA$ ya ikinci bir dik iniliyor. Son dikmenin $OA$ üzerindeki ayağından tekrar, $OB$ ye bir dikme iniliyor ve bu işlem sonsuz devam ediyor. İlk iki dikmenin uzunlukları sırası ile $a$ ve $b$ olsun. $a>b$ ise, çizilen sonsuz sayıdaki dikmenin uzunlukları toplamı nedir?

$\textbf{a)}\ \dfrac{a^2}{(a-b)} \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{(a-b)}{a^2}  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{a^2-b^2}{a}  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{(a^2-b^2)}{b} \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{a}{(a^2-b^2)}$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{A}$

Şekilde $|AC|=a$, $|CD|=b$ dir. $ACD \sim DEF$ olup benzerlik oranı $r$ olsun. Yani, $r=\dfrac{b^2}{a^2}$ olmak üzere $|DE|=ar$, $|EF|=br$ dir. Çizimlere devam edilirse, her adımda oluşan dik üçgenin kenarları kendinden önceki benzer olduğu dik üçgenin kenarlarının $r$ katı olur. Böylece, sonsuz geometrik toplam formülü kullanılarak $$T_1 = a + ar + ar^2 + \cdots = a\dfrac{1}{1-r} $$ $$ T_2 = b + br + br^2 + \cdots = b\dfrac{1}{1-r} $$ yazılır.
$T_1 + T_2 = (a+b)\dfrac{1}{1-r} = (a+b)\dfrac{1}{1-(b^2/a^2)} = (a+b)\dfrac{a^2}{a^2 - b^2}= \dfrac{a^2}{a-b}$ elde edilir.