Tübitak Lise 1. Aşama 1994 Soru 11

[Lokman Gökçe]

Rasyonel sayılardan rasyonel sayılara tanımlı bir $f$ fonksiyonu tüm $a,b$ rasyonel sayıları için $f(a+b)=f(a)+f(b)$ denklemini sağlasın ve $f(2)=3$ olsun. $f\left(\dfrac 5 2 \right) $ değeri aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ \dfrac{5}{2} \qquad\textbf{b)}\ 3  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{15}{4}  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{11}{2} \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{15}{2} $

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{C}$

$a=b=1$ için $f(2)=f(1)+f(1) = 3$ olup $f(1)=\dfrac{3}{2}$ dir.

$a=b=\dfrac{1}{2}$ için $ f(1)= f\left(\dfrac 1 2 \right) + f\left(\dfrac 1 2 \right) = \dfrac{3}{2} $ olup $ f\left(\dfrac 1 2 \right) = \dfrac{3}{4} $ olur.

$a=2$, $b=\dfrac{1}{2}$ için $  f\left(\dfrac 5 2 \right) =  f(2) +  f\left(\dfrac 1 2 \right) = \dfrac{15}{4} $  elde edilir.

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{C}$

İlk çözüm oldukça sadedir. Ayrıca, biraz fonksiyonel denklem teorisi kullanarak da soruya yanıt verebiliriz. Rasyonel sayılar kümesi üzerinde tanımlı $f(a+b)=f(a)+f(b)$ Cauchy fonksiyonel denkleminin genel çözümü $f(x)=cx$ tir. $f(2)=3$ koşuluna uygun özel çözüm ise $f(x)=\dfrac{3}{2}x$ tir. Böylece $f\left(\dfrac{5}{2} \right)=\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{5}{2} = \dfrac{15}{4}$ olur.