Tübitak Lise 1. Aşama 1994 Soru 10

[Lokman Gökçe]

$n$ pozitif bir tamsayı olmak üzere, $S_n$ ile $ \{ 1, 2, \dots , n \}$ kümesini gösterelim. $S_n$ kümesinin içerdikleri elemanların toplamları birbirine eşit olan iki ayrık alt kümeye ayrılabildiğini kabul edelim. Bu durumda aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

$\textbf{a)}$ $n$, $4k+1$ biçiminde olmak zorundadır.
$ \textbf{b)}$ $n$, $4k+2$ biçiminde olabilir.
$\textbf{c)}$ $n$, $4k$ biçiminde olmak zorundadır.
$ \textbf{d)}$ $n$, ya $4k$ ya da $4k+3$ biçiminde olmak zorundadır.
$\textbf{e)}$ İstenen koşulları sağlayan bir $n$ sayısı yoktur.

[Squidward]

Cevap: $\boxed{D}$

$S_n$ kümesindeki elemanların toplamı $T(n) = \dfrac{n(n+1)}{2}$'dir, küme, toplamları birbirine eşit iki ayrık kümeye ayrılabiliyor ise, $T(n)$'in çift olması gerekir, açıktır ki $n =4k$ ya da $n + 1 = 4k$ olması gerekir. Örneğin $n = 3$ için, $\text{{1, 2}}$, $\text{{3}}$ olarak ayrılabilir.