Tübitak Lise 1. Aşama 2019 Soru 30

[Squidward]

Ahmet aklında bir pozitif tam sayı tutuyor. Sonrasında Ahmet Betül’e, bu sayının üç basamaklı olduğunu ve bu sayının sırasıyla $10$, $11$ ve $12$ ile bölümünden kalanları söylüyor. Betül yalnızca bu bilgileri kullanarak Ahmet’in sayısını bulabiliyor. Buna göre, Ahmet’in tuttuğu sayının alabileceği en büyük değer ile en küçük değer arasındaki fark kaçtır?

$\textbf{a)}\ 419 \qquad\textbf{b)}\ 479  \qquad\textbf{c)}\ 539 \qquad\textbf{d)}\ 599 \qquad\textbf{e)}\ 629$

[bunyamin]

10,11,12 ekokları 660 ohalde 660k+x şeklindeki sayıalar. kesin bildiğimize göre aynı şartları başka sayı sağlamaz. bu da ençok 660+99=759 olur enazda 660+340=1000 dört basamaklı olduğundan 340 olur. 759-340=419

[geo]

Yanıt: $\boxed A$

Cevap: $419$.

Ahmet'in tuttuğu sayı $n$ olsun. $\operatorname{okek}(10,11,12)=660$ olduğundan Ahmet'in verdiği bilgiler $100 \leq r \leq 999$ ve $n$ nin $660$ ile bölümünden kalan sayıdır. $ 100 \equiv 760 \pmod {660}$, $101 \equiv 761 \pmod {660}$, $\ldots, 339 \equiv 999 \pmod {660}$ olduğundan $n$ sayısı $100, \ldots, 339,760, \ldots, 999$ saylarından biri olamaz. $340,341, \ldots, 759$ saylarından herhangi biri için o sayıya $\pmod {660}$ da denk üç basamaklı yalnızca bir sayı bulunduğundan Ahmet'in tutuğu sayının alabileceği değerler $340,341, \ldots, 759$ dur ve dolayısıyla cevap $759-340=419$ olur.

Kaynak: Tübitak 27. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınav Soru ve Çözümleri 2019