Tübitak Lise 1. Aşama 2019 Soru 12

[Squidward]

Özdeş $6$ kırmızı top ve özdeş $6$ beyaz top $A, B, C, D$ ve $E$ kutularına, $A$ kutusunda kırmızı toplar beyaz toplardan fazla, $B$ kutusunda beyaz toplar kırmızı toplardan fazla, $C, D$ ve $E$ kutularının her birinde ise eşit sayıda kırmızı ve beyaz top olacak biçimde kaç farklı şekilde dağıtılabilir?

$\textbf{a)}\ 240 \qquad\textbf{b)}\ 252  \qquad\textbf{c)}\ 256 \qquad\textbf{d)}\ 275 \qquad\textbf{e)}\ 288$

[muuurat]

Yanıt: $\boxed B$

$A$ kutusuna $1$ kırmızı ve $B$ kutusuna $1$ beyaz top konduktan sonra $KB,KB,KB,KB,KB$ şeklinde $5$ top düşünülüp $5$ farklı kutuya dağıtırız. Bu işlem $\left( \begin{matrix}9\\4\end{matrix} \right)$ yolla yapılır. $A$ kutusuna $2$ kırmızı ve $B$ kutusuna $2$ beyaz top konduktan sonra $KB,KB,KB,KB$ şeklinde $4$ top düşünülüp $5$ farklı kutuya dağıtırız. Bu işlem $\left( \begin{matrix}8\\4\end{matrix} \right)$ yolla yapılır. Benzer şekilde devam edersek $\left( \begin{matrix}9\\4\end{matrix} \right )+\left( \begin{matrix}8\\4\end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix}7\\4\end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix}6\\4\end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix}5\\4\end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix}4\\4\end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}10\\5\end{matrix} \right)$ farklı yolla yapılır.

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{B}$

$A$ kutusuna $x$ tane kırmızı top, $B$ kutusuna $x$ tane beyaz top koymuş olalım. $1\leq x \leq 6$ dır. Bu $x$, fazla olması gereken topların sayısını göstermektedir. $y=6-x$ tane de kırmızı-beyaz top ikilisi grubu oluşturalım. Sonra da $y$ tane top ikilisini $5$ kutuya dağıtırız. $a+b+c+d+e = y \leq 5$ tir. Bir $f\geq 0$ tam sayısı için
$$ a+b+c+d+e+ f = 5$$
eşitliği sağlanır. Dağılım prensibi gereği, bu denklemin negatif olmayan tam sayılardaki çözüm sayısı $\dbinom{10}{5} = 252$ olur.