Tübitak Lise 1. Aşama 2019 Soru 26

[Squidward]

$n$ bir pozitif tam sayı ve $a_1,a_2,\ldots,a_n \in {-3,2}$ olmak üzere, $\sum_{k=1}^{n} a_k \binom{n}{k} = 87$ eşitliği sağlanıyorsa, $n$ nin alabileceği en küçük değer nedir?

$\textbf{a)}\ 6 \qquad\textbf{b)}\ 7  \qquad\textbf{c)}\ 8 \qquad\textbf{d)}\ 9 \qquad\textbf{e)}\ 10$

[Squidward]

Yanıt : $\boxed{D}$

Tüm katsayılar olan $a_i$ leri $2$'ye eşitleyelim ve $87$'yi $a_i$ leri $-3$ 'e çevirerek elde etmeye dönüştürelim soruyu, açıktır ki seçilen bir $n$ pozitif tamsayısı için $a_i$ ler $2$ ye eşitken ifade $2^{n+1} - 2$ ye eşittir, katsayılarını değiştirdiğimiz $a_i$ lerin toplamlarına $K$ diyelim ve ifademizi artık biraz düzenleyerek yazarsak $2^{n+1} - 5K = 89$ olur, bu denklem $\mod{5}$ de incelenirse, $n \equiv 1 \mod{4}$ olması gerektiği görülür, şıklarda "Hiçbiri" şıkkı olmadığından ve $\mod{4}$ de $1$ 'e denk olan tek şık $9$ olduğundan hiç düşünmeden $9$'u işaretleyebiliriz.

Gerçekten de $n=1$, $n=5$ değerlerinin sağlamadığı açıktır ve yukarıdaki eşitliği kullanarak $n=9$ için $K=187$ olması gerektiği görülür ve kısa deneme yanılmalar sonucu görülür ki,

$-3  \dbinom{9}{1}+ 2  \dbinom{9}{2} - 3  \dbinom{9}{3} +  2 \dbinom{9}{4} + 2 \dbinom{9}{4} + 2  \dbinom{9}{5} - 3\dbinom{9}{6}+2\dbinom{9}{7}-3\dbinom{9}{8}-3\dbinom{9}{9} = 87$ dir.

[Lokman Gökçe]

Ayrıca  $n \geq 6$ olduğu da şu şekilde kanıtlanabilir:

$a_i \leq 2$ olduğundan $87 = a_1\dbinom{n}1 + a_2\dbinom{n}2 + \cdots + a_n\dbinom{n}n \leq 2 \left[ \dbinom{n}1 + \dbinom{n}2 + \cdots + \dbinom{n}n  \right] = 2^{n+1} - 2$ olduğundan $2^{n+1} \geq 89$ olup $n \geq 6$ elde edilir.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Yanıt: $\boxed{D}$
$p\leq n$  tam sayı olmak üzere $i=1,2,\cdots,p$  için $x_i\leq n$  için
$$\sum_{k=1}^{n}{a_k\dbinom{n}{k}}=2\sum_{k=1}^{n}{\dbinom{n}{k}}-5\sum_{i=1}^{p}{\dbinom{n}{x_i}}=2^{n+1}-2-5\sum_{i=1}^{p}{\dbinom{n}{x_i}}$$
olduğundan $n\geq 6$  dır. Ayrıca mod 5'te incelendiğinde $n\geq 9$  olur. Örnek durum da belirlemek lazım, nitekim örnek durum $n=9,p=5,x_1=1,x_2=3,x_3=6,x_4=8,x_5=9$  dur. Bu durumda
$$1024-2-5(2.84+2.9+1)=87$$
bulunur ve isteneni sağlar. Dolayısıyla $n$  tam sayısının alabileceği en küçük değer $9$  dur.