Tübitak Lise 1. Aşama 2019 Soru 25

[Squidward]

$C \in [AB]$ olmak üzere, $[AB]$ çaplı bir yarım çember üzerinde $D$ ve $E$ noktaları $m(\widehat{ACD}) = m(\widehat{BCE}) = 30^\circ$ olacak biçimde alınıyor. $|AC| = 27$ ve $|CB| = 3$ ise, $|CD|-|CE|$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 15 \qquad\textbf{b)}\ 18  \qquad\textbf{c)}\ 21 \qquad\textbf{d)}\ 10 \sqrt{3} \qquad\textbf{e)}\ 12 \sqrt{3}$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{E}$

$D$ ve $E$ noktalarının çapa göre simetrileri sırasıyla $K$ ve $L$ olsun. $CEL$ ve $DCK$ üçgenleri eşkenar üçgendir. $EL$ ile $CB$ doğruları $H$'da kesişsin. $H$ noktası $CEL$ için yükseklik ayağıdır. $|CE|=2x\sqrt{3}$ dersek $|CH|=3x$ ve $|HB|=3-3x$, $|AH|=27+3x$ olur. Kuvvetten, $$|EH|\cdot |HB|=|AH|\cdot |HB|\Rightarrow x^2=(1-x)(27+3x)\Rightarrow |CE|=3\sqrt{21}-6\sqrt{3}$$ bulunur. Yine kuvvetten, $$|AC|\cdot |CB|=81=|CD|\cdot |CL|=|CD|\cdot |CE|\Rightarrow |CD|=3\sqrt{21}+6\sqrt{3}$$ bulunur. Dolayısıyla $|CD|-|CE|=12\sqrt{3}$ bulunur.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Yanıt: $\boxed{E}$

Çember $w$, merkez de $O$  olsun. $DC\cap w=F\neq D$  ve $EC\cap w=G\neq E$  diyelim. $OH_1\perp DF$  ve $OH_2\perp EG$  olmak üzere, $CH_1=6\sqrt{3}$  ve $DH_1^2-108=81$  olur. $CD=3\sqrt{21}+6\sqrt{3}$  bulunur. Öte yandan, $CH_2=6\sqrt{3}$  ve $GH_2^2-108=81$  olduğundan $CE=3\sqrt{21}-6\sqrt{3}$  olur. İstenen ifade $12\sqrt{3}$  olarak elde edilir.