Tübitak Lise 1. Aşama 2019 Soru 20

[Squidward]

Aslı ve Berk, başlangıçta hiçbir birim karesi boyalı olmayan $27 \times 27$ bir tahta üzerinde sırayla hamleler yaparak bir oyun oynuyorlar. Oyuna ilk başlayan Aslı, sırası geldiğinde boyalı olmayan bir birim kareyi kırmızıya boyuyor. Sıra Berk’e geldiğinde ise Berk, tahtanın birim karelerinden oluşan ve hiçbir birim karesi boyalı olmayan bir $2\times 2$ karenin dört birim karesini de maviye boyuyor. Bir oyuncu hamle yapamıyorsa oyun bitiyor ve Berk boyadığı birim kare sayısı kadar puan kazanıyor. Buna göre, Berk en fazla kaç puan kazanmayı garantileyebilir?

$\textbf{a)}\ 316 \qquad\textbf{b)}\ 324  \qquad\textbf{c)}\ 336 \qquad\textbf{d)}\ 348 \qquad\textbf{e)}\ 364$

[bunyamin]

Aslı bir hamlede 2x2 lik 4 kareden sağ alt köşeyi boyar ve bu 4 kareyi kullanılmaz hale getirir Berk ise 2x2 lik kare boyar aslı tekrar berkin boyadığı 2x2 lik karelerin sağ yada sol tarafındaki 2x2 lik karenin alt köşesi boyanır yani her ikiside 4 kare kullanmış gibi olur. O halde 2x2 lik ilk satırda yan yana 13 tane 2x2 lik kareden 7 sini aslı 6 sını berk ikinci satırda 6 aslı 7 berk şeklinde devam eder ve toplam 13 satır vardır.Berk=6.7+7.6=84 tane 2x2 lik boyar 84.4=336 olur

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{C}$


$27\times 27$ tahtayı $1,2,3,4$ numaralı renklerle aşağıdaki gibi  boyayalım:

$$
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
 1 & 2 & 1 & 2 & 1 & 2 & 1 & \cdots & 1 \\ \hline
 3 & {\color{orange} 4} & 3 & {\color{orange} 4}  & 3 & {\color{orange} 4}  & 3  &  & 3 \\ \hline
 1 & 2 & 1 & 2 & 1 & 2 & 1 &   & 1 \\ \hline
 3 & {\color{orange} 4}  & 3 & {\color{orange} 4}  & 3 & {\color{orange} 4}  & 3 &  & 3 \\ \hline
 1 & 2 & 1 & 2 & 1 & 2 & 1 &   & 1 \\ \hline
 3 & {\color{orange} 4} & 3 & {\color{orange} 4} & 3 & {\color{orange} 4} & 3  &  & 3 \\ \hline
 1 & 2 & 1 & 2 & 1 & 2 & 1 &   & 1 \\ \hline
 \vdots &  &  &  &  &  &  & \ddots & \vdots  \\ \hline
 1 & 2 & 1 & 2 & 1 & 2 & 1  & \cdots & 1 \\ \hline
\end{array}
$$

Çözümdeki önemini vurgulamak için $4$ ü farklı bir renkle, turuncuyla boyayalım. Berk her hamlesinde $1,2,3,4$ numaralı karelerden birer tanesini boyamış olacaktır:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
 1 & 2 \\ \hline
 3 & 4 \\ \hline
\end{array} , \quad
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
 2 & 1 \\ \hline
 4 & 3 \\ \hline
\end{array} ,  \quad
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
 3 & 4 \\ \hline
 1 & 2 \\ \hline
\end{array}
\quad \text{ veya } \quad
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
 4 & 3 \\ \hline
 2 & 1 \\ \hline
\end{array}$$

Bu sebeple, bunlar arasındaki sayıca en az olanına, $4$ numaralı karelere bakalım: $169$ tanedir. Aslı, Berk'in mümkün olduğunca engellemek istiyorsa $4$ numaralı kareleri kırmızıya boyamalıdır. Berk için en azından $\dfrac{169-1}{2} = 84$ tane $4$ numaralı kare kalmış olur. Elbette Aslı daha kötü bir strateji izlerse Berk'e daha fazla sayıda $4$ numaralı kare kalması mümkündür. Sonuç olarak Berk $84$ tane $2\times 2$ türünde kareyi maviye boyamayı garantilemiş olur ve en azından $4\cdot 84 = 336$ puan almayı garantileyebilir.