Tübitak Lise 1. Aşama 2019 Soru 24

[Squidward]

$A_1,A_2,\ldots,A_8$ adalar olmak üzere, her $k = 1,2,\ldots,7$ için $A_k$ ile $A_{k+1}$ ve $A_8$ ile $A_1$ arasında ikişer köprü bulunmaktadır. $A_1$ adasında bulunan bir kişi, bu $16$ köprünün her birinden tam olarak bir kez geçerek $A_1$ adasına dönecek şekilde kaç farklı güzergah izleyebilir?

$\textbf{a)}\ 4096 \qquad\textbf{b)}\ 4608  \qquad\textbf{c)}\ 4864 \qquad\textbf{d)}\ 5012 \qquad\textbf{e)}\ 5632$

[AtakanCİCEK]

Yanıt:$\boxed{B}$

 Soruyu en genel halde $A_1,A_2,A_3,...,A_n$ için $(n+1).2^{n+1}$ durumun olduğunu gösterelim.

Şekil dönel olduğu için çember gibi düşünebiliriz. Saat yönünde giden durum sayısı , saat yönü tersinde giden durum sayısına eşittir.

Bundan böyle saat yönünde gitsin.

$A_2$ ye gidip geri dönerse saat yönü tersinden tüm yolları geçmesi gerekeceğinden dolayı $2^n$ durum olur.

$A_3$ e gidip geri dönerse  saat yönü tersinden tüm yolları geçmesi gerekeceğinden dolayı $2^n$ durum olur.
.
.
.
$A_{n-1}$ e gidip geri dönerse saat yönü tersinden tüm yolları geçmesi gerekeceğinden $2^n$ durum olur.

$A_n$ için durum biraz farklıdır isterse 1 tur daha  atar ya da geri döner. Bu nedenle $2.2^n$ durum olur.

Toplanırsa $(n-1).2^n+2.2^n=(n+1).2^n$ durum olur.     

Saat yönündeki durum sayısı saat yönü tersindeki durum sayısına eşit olduğundan $2.(n+1).2^n=(n+1).2^{n+1}$ durum olmalıdır.

$n=8$ için $9.2^9=4608$ olduğu görülebilir.