Tübitak Lise 1. Aşama 2019 Soru 04

[Squidward]

İki basamaklı pozitif tam sayılardan oluşan ve herhangi iki elemanının çarpımı $100$ ile tam bölünmeyen bir kümenin eleman sayısı en fazla kaç olabilir?

$\textbf{a)}\ 74 \qquad\textbf{b)}\ 76  \qquad\textbf{c)}\ 78 \qquad\textbf{d)}\ 80 \qquad\textbf{e)}\ 82$

[Squidward]

Yanıt: $\boxed{D}$

$\text{İ} = \{10,11,\ldots, 99\}$

$s(\text{İ}) = 90$'dır ve seçilen iki elemanın çarpımının $100$ ile bölünebilmesi için $2$ durum vardır, sayıların ikisinde de $2$ ve $5$ çarpanları olması ya da sayılardan birisinde $2^2$ diğerinde $5^2$ çarpanı bulunması. Seçilen sayıların bu durumlara uymaması ve kümesinin maksimum elemanlı olması($2^2$ çarpanına sahipler yerine $5^2$ çarpanına sahip olanları çıkartmak) için çıkartacağımız kümeler:

$B = \{10, 20, \ldots, 90\}$
$C = \{25, 50, 75\}$

kümeleridir bu iki kümede de bulunan bir elemanı da geri eklemeliyiz ve belirtilen ilk durumda seçilen iki elemanın ikisinin de $2$ ve $5$ içermesi gerekiyordu, bir tane olması durumu sağlamaz yani herhangi birini geri ekleyebiliriz.

$s(\text{İ}) - s(B) - s(C) + s(B\cap C) + 1 = 90 - 9 - 3 + 1 + 1= 80$