Yanıt: $\boxed D$
Özdeşik: $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)$
Ayrıca $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=2(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)$
O halde, $(a+b+c)\left[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\right]=2$ bilgisi altında $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2$ ifadesinin soruda verilen değerlerden hangilerini alabileceğini bulmak istiyoruz.
$(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2$ ifadesinin $2016^{-2}, 2016^{-1}, 1, 2016$ değerlerine eşit olması için $a+b+c$ ifadesinin sırasıyla $2.2016^2, 2.2016, 2, \dfrac{1}{1008}$ değerlerine eşit olması gerekir.
İddia 1: $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=2016$ ve $a+b+c=\dfrac{1}{1008}$ olması mümkün değildir.
İspat: Olabileceğini varsayalım. $a+b+c=\dfrac{1}{1008}$ olabilmesi için $a,b,c<1$ olmalıdır. Ancak bu durumda $2016=(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2<a^2+b^2+c^2<a+b+c=\dfrac{1}{1008}$ elde ederiz. Çelişki.
İddia 2: Diğer 3 durum mümkündür.
İspat: Diğer 3 duruma örnek bulacağız. Kolay olması açısından $(a,b,c)=(x+y, x, x)$ formunda örnekler bulalım.
i) $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=2016^{-2}, a+b+c=2.2016^2$
$\Longrightarrow 2y^2=2016^{-2}, 3x+y=2.2016^2$
Bu denklem sisteminin $(x,y)$ çözümünün olduğu açıktır.
ii) $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=2016^{-1}, a+b+c=2.2016$
$\Longrightarrow 2y^2=2016^{-1}, 3x+y=2.2016$
Bu denklem sisteminin $(x,y)$ çözümünün olduğu açıktır.
iii) $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=1, a+b+c=2$
$\Longrightarrow 2y^2=1, 3x+y=2$
Bu denklem sisteminin $(x,y)$ çözümünün olduğu açıktır.
O halde $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2$ ifadesi $2016^{-2},2016^{-1}, 1$ sayılarına eşit olabilir ancak $2016$ sayısına eşit olamaz.