Cevap: $\boxed{B}$
$2016=2^5\cdot 3^2\cdot 7$ olduğundan $\dbinom{3n}{n}=\dfrac{(3n)!}{(2n)!\cdot n!}$ ifadesinin asal çarpanlarına ayrılmış halinde $2$, $3$, $7$'nin kuvvetleri sırasıyla en az $5$, $2$ ve $1$ olmalıdır. $3$ ve $7$ asallarından $n$'yi sınırlandırmamız zordur çünkü $n=3$ için $7\mid \dbinom{3n}{n}$ ve $n=4$ için $3^2\mid \dbinom{3n}{n}$ olacaktır. Yani $n$'yi alttan sınırlamak için $2$ asalına bakmak mantıklıdır. $n!$'deki $2$'nin kuvveti $$v(n!)=\sum_{k=1}^{\infty}\left\lfloor\frac{n}{2^k}\right\rfloor$$ olarak hesaplanır. Dolayısıyla $$v\left(\dbinom{3n}{n}\right)=v\left(\dfrac{(3n)!}{(2n)!\cdot n!}\right)=v((3n)!)-v((2n)!)-v(n!)=\sum_{k=1}^{\infty}\left(\left\lfloor\frac{3n}{2^k}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{2n}{2^k}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{n}{2^k}\right\rfloor\right)$$ $S_n(k)=\left\lfloor\frac{3n}{2^k}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{2n}{2^k}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{n}{2^k}\right\rfloor$ diyelim. Bu durumda $$v\left(\dbinom{3n}{n}\right)=S_1(n)+S_2(n)+S_3(n)+\cdots$$ olacaktır. Eğer Öklit algoritmasıyla $n=2^ka+b$ olarak yazarsak ($0\leq b<2^k$)
$0\leq b<\frac{2^k}{3}$, $\frac{2^k}{3}<b\leq 2^{k-1}$, $2^{k-1}<b<\frac{2^{k+1}}{3}$ ve $\frac{2^{k+1}}{3}<b<2^k$ durumlarını incelersek her durumda $S_n(k)=0$ veya $1$ olabileceğini görürüz. Eğer $3n<2^k$ ise $S_n(k)$ kesinlikle $0$ olacaktır, bu yüzden $S_n(k)=1$ olması için $3n\geq 2^k$ olmalıdır. Her $n$ için $S_1(n)=0$ olacağından $5$'i elde etmek için ilk $6$ terime bakmalıyız, eğer $3n<2^6=64$ ise $k\geq 6$ için $S_k(n)=0$ olacaktır ve sadece $k=2,3,4,5$ için $S_k(n)=1$ olabileceğinden $2$'nin $5.$ kuvveti elde edilemez. Dolayısıyla $3n\geq 64$ olmalıdır. Yani $n\geq 22$ olmalıdır.
$n=22$ ise $v\left(\dbinom{3n}{n}\right)=4$ olacaktır. İstenileni sağlamaz. Ancak $n=23$ için $2$, $3$ ve $7$'nin kuvvetleri istenilen şekilde olacaktır.