Gönderen Konu: Tübitak Lise 1. Aşama 2016 Soru 26  (Okunma sayısı 3254 defa)

Çevrimdışı ArtOfMathSolving

  • G.O Efsane Üye
  • *******
  • İleti: 422
  • Karma: +5/-8
Tübitak Lise 1. Aşama 2016 Soru 26
« : Haziran 07, 2016, 09:55:47 ös »
$\dbinom{3n}{n}$ ifadesinin $2016$ ile tam bölünmesini sağlayan en küçük $n$ pozitif tam sayısı kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 11
\qquad{b)}\ 23
\qquad{c)}\ 31
\qquad{d)}\ 43
\qquad{e)}\ \text{Hiçbiri}
$
Sıradan bir matematikçi...

Çevrimdışı Metin Can Aydemir

  • G.O Genel Moderator
  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1.313
  • Karma: +9/-0
Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2016 Soru 26
« Yanıtla #1 : Temmuz 24, 2022, 07:23:59 ös »
Cevap: $\boxed{B}$

$2016=2^5\cdot 3^2\cdot 7$ olduğundan $\dbinom{3n}{n}=\dfrac{(3n)!}{(2n)!\cdot n!}$ ifadesinin asal çarpanlarına ayrılmış halinde $2$, $3$, $7$'nin kuvvetleri sırasıyla en az $5$, $2$ ve $1$ olmalıdır. $3$ ve $7$ asallarından $n$'yi sınırlandırmamız zordur çünkü $n=3$ için $7\mid \dbinom{3n}{n}$ ve $n=4$ için $3^2\mid \dbinom{3n}{n}$ olacaktır. Yani $n$'yi alttan sınırlamak için $2$ asalına bakmak mantıklıdır. $n!$'deki $2$'nin kuvveti $$v(n!)=\sum_{k=1}^{\infty}\left\lfloor\frac{n}{2^k}\right\rfloor$$ olarak hesaplanır. Dolayısıyla $$v\left(\dbinom{3n}{n}\right)=v\left(\dfrac{(3n)!}{(2n)!\cdot n!}\right)=v((3n)!)-v((2n)!)-v(n!)=\sum_{k=1}^{\infty}\left(\left\lfloor\frac{3n}{2^k}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{2n}{2^k}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{n}{2^k}\right\rfloor\right)$$ $S_n(k)=\left\lfloor\frac{3n}{2^k}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{2n}{2^k}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{n}{2^k}\right\rfloor$ diyelim. Bu durumda $$v\left(\dbinom{3n}{n}\right)=S_1(n)+S_2(n)+S_3(n)+\cdots$$ olacaktır. Eğer Öklit algoritmasıyla $n=2^ka+b$ olarak yazarsak ($0\leq b<2^k$)

$0\leq b<\frac{2^k}{3}$, $\frac{2^k}{3}<b\leq 2^{k-1}$, $2^{k-1}<b<\frac{2^{k+1}}{3}$ ve $\frac{2^{k+1}}{3}<b<2^k$ durumlarını incelersek her durumda $S_n(k)=0$ veya $1$ olabileceğini görürüz. Eğer $3n<2^k$ ise $S_n(k)$ kesinlikle $0$ olacaktır, bu yüzden $S_n(k)=1$ olması için $3n\geq 2^k$ olmalıdır. Her $n$ için $S_1(n)=0$ olacağından $5$'i elde etmek için ilk $6$ terime bakmalıyız, eğer $3n<2^6=64$ ise $k\geq 6$ için $S_k(n)=0$ olacaktır ve sadece $k=2,3,4,5$ için $S_k(n)=1$ olabileceğinden $2$'nin $5.$ kuvveti elde edilemez. Dolayısıyla $3n\geq 64$ olmalıdır. Yani $n\geq 22$ olmalıdır.

$n=22$ ise $v\left(\dbinom{3n}{n}\right)=4$ olacaktır. İstenileni sağlamaz. Ancak $n=23$ için $2$, $3$ ve $7$'nin kuvvetleri istenilen şekilde olacaktır.
« Son Düzenleme: Ocak 31, 2023, 01:42:25 öö Gönderen: geo »
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal