Gönderen Konu: Tübitak Lise 1. Aşama 2016 Soru 23  (Okunma sayısı 3346 defa)

Çevrimdışı Eray

  • G.O Genel Moderator
  • G.O Efsane Üye
  • ********
  • İleti: 414
  • Karma: +8/-0
Tübitak Lise 1. Aşama 2016 Soru 23
« : Haziran 07, 2016, 09:50:19 ös »
Tüm terimleri birbirinden ve sıfırdan farklı bir $(a_n)_{n=0}^\infty$ gerçel sayı dizisi $a_0=\sqrt2$ ve her $n\ge1$ için $a_n a_{n+1}+\dfrac{4}{a_n a_{n-1}}=2\left(1+\dfrac{a_{n+1}}{a_{n-1}}\right)$ koşulunu sağlıyor. Buna göre $a_1\cdot a_2\cdots a_{2016}$ çarpımının alabileceği kaç farklı değer vardır?

$\textbf{a)}\ 1 \qquad\textbf{b)}\ 2 \qquad\textbf{c)}\ 4 \qquad\textbf{d)}\ \text{Sonsuz çoklukta} \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

Çevrimdışı Alimmm78

  • G.O Sevecen Üye
  • ****
  • İleti: 52
  • Karma: +3/-0
Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2016 Soru 23
« Yanıtla #1 : Haziran 07, 2016, 10:40:46 ös »

Latex i tam bilmediğim için yazamadım
Becerebilirsem yazmaya çalışırım
« Son Düzenleme: Kasım 05, 2023, 04:08:54 ös Gönderen: geo »

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 2.632
  • Karma: +9/-0
Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2016 Soru 23
« Yanıtla #2 : Ağustos 20, 2023, 01:10:34 ös »
Yanıt: $\boxed A$

Cevap: $1$.

İfade düzenlenirse $\left(a_n a_{n+1}-2\right)\left(a_n a_{n-1}-2\right)=0$ elde edilir. Buradan da tüm terimler farklı olduğundan her $i=0,2,4, \ldots$ için $a_i a_{i+1}=2$ veya her $i=1,3,5, \ldots$ için $a_i a_{i+1}=2$ olmalıdır. $a_0=\sqrt{2}$ olduğundan ilki olamaz. Bu durumda da $a_1 \cdot a_2 \cdots a_{2016}=2^{1008}$ olur.

Kaynak: Tübitak 24. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınav Soru ve Çözümleri 2016

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal