Gönderen Konu: Tübitak Lise 1. Aşama 2016 Soru 15  (Okunma sayısı 3409 defa)

Çevrimdışı Eray

  • G.O Genel Moderator
  • G.O Efsane Üye
  • ********
  • İleti: 414
  • Karma: +8/-0
Tübitak Lise 1. Aşama 2016 Soru 15
« : Haziran 07, 2016, 09:26:48 ös »
$1\le|a|,|b|,|c|\le10$, $a\neq c$ ve $b^2\ge4ac$ koşullarını sağlayan tüm $a,b,c$ tam sayıları için $ax^2+bx+c=0$ denkleminin en küçük kökü ile $cx^2+bx+a=0$ denkleminin en büyük kökü birbirine eşitse $(a,b,c)$ üçlüsüne karesel üçlü diyelim. Kaç farklı karesel üçlü vardır?

$\textbf{a)}\ 20 \qquad\textbf{b)}\ 40 \qquad\textbf{c)}\ 50 \qquad\textbf{d)}\ 60 \qquad\textbf{e)}\ 80$
« Son Düzenleme: Haziran 07, 2016, 09:37:05 ös Gönderen: Eray »

Çevrimdışı Buğra Doğan

  • G.O İlgili Üye
  • **
  • İleti: 21
  • Karma: +1/-0
Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2016 Soru 15
« Yanıtla #1 : Haziran 08, 2016, 06:20:36 ös »
\[
ax^2  + bx + c = 0\,\,\,\,kökleri;\,\,\,\,\frac{{ - b \pm \sqrt \Delta  }}
{{2a}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,cx^2  + bx + c = 0\,\,\,\,\,\,kökleri;\,\,\,\frac{{ - b \pm \sqrt \Delta  }}
{{2c}}
\]
İlk denklemin en küçük kökü ve ikinci denklemin en büyük kökünün eşit olduğu söyleniyor. b'nin negatif yada pozitif olmasına göre denklemlerin en küçük ve en büyük kökü bulunurken kök(diskriminantın) işareti de değişir ancak kök(diskriminantın) işaretinin - yada + olması içler dışlar çarpımı yapıldığında ortaya çıkacak denklemi etkilemeyecektir. Düzenleyelim;
\[
\frac{{ - b - \sqrt \Delta  }}
{{2a}} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta  }}
{{2c}}\,
\]
\[
2ab - 2bc = (2a + 2c) \cdot \sqrt \Delta
\]
\[
2ab - 2bc = \sqrt {(2a + 2c)^2  \cdot (b^2  - 4ac)}
\]
\[
(2ab - 2bc)^2  = (2a + 2c)^2  \cdot (b^2  - 4ac)
\]
\[
b^2  = (a + c)^2 \,\,\,\,elde\,\,edilir.
\]

Ayrıca köklü diskriminant ifadesi negatif olamayacağından eşitsizliğin sol yanının 0'dan büyük olduğunu da biliyoruz;
\[
2ab - 2bc = (2a + 2c) \cdot \sqrt \Delta  \,\xrightarrow{{}}\,\,\,\frac{{2ab - 2bc}}
{{2a + 2c}} \geqslant 0\xrightarrow{{}}\,\,\,\frac{{b(a - c)}}
{{(a + c)}} \geqslant 0
\]
\[
\frac{{b(a - c)}}
{{(a + c)}} \geqslant 0\,\,\,ifadesi\,\,a \ne c\,\,ve\,\,b \ne 0\,\,olduğundan\,\,\frac{{b(a - c)}}
{{(a + c)}} \succ 0\,\,\,kabul\,\,edilir.
\]

\[
b^2  = (a + c)^2 \,\,\,\,,\,\,\,\,\,\frac{{b(a - c)}}
{{(a + c)}} \geqslant 0\,\,\,\,\,ve\,\,\,\,a \ne c\,\,\,\,koşulunu\,\,\,sağlayan\,\,\,1 \leqslant \left| a \right|,\left| b \right|,\left| c \right| \leqslant 10\,\,\,aralığındaki\,\,\,(a,b,c)\,\,\,\,üçlüleri\,\,istenilen\,\,cevapt\imath r.
\]
b'ye sırasıyla 10,9.8,...,1 değerleri verildiğinde yukarıdaki elde ettiğimiz denklem ve eşitsizliğe göre;

b=(10,9)          8'er farklı (a,c) ikilisi (8.2=16)
b=(8,7)            6'er farklı (a,c) ikilisi (6.2=12)
b=(6,5)            4'er farklı (a,c) ikilisi (4.2=8)
b=(4,3)            2'er farklı (a,c) ikilisi (2.2=4)
b=(2,1)            0'er farklı (a,c) ikilisinin sağladığı rahatça görülür. (Toplam:40 adet)

Ayrıca b'nin (-1,-2,...,-10) değerlerinde de durumun senkronize olduğu görülür. 40+40=80 farklı (a,b,c) karesel üçlüsü bulunmaktadır.

\[
Cevap:E
\]



Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 2.659
  • Karma: +9/-0
Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2016 Soru 15
« Yanıtla #2 : Ağustos 20, 2023, 01:05:08 ös »
Yanıt: $\boxed E$

Cevap: $80$.

$(a, b, c)$ bir çözümse $(-a,-b,-c)$ de bir çözümdür. Ayrıca $a c>0$ olmalıdır. Aksi halde her iki denklemin kökleri ters işaretli olacağından ilkinin en küçük kökü negatif ikincinin en büyük kökü pozitif olur ve çelişki elde ederiz. Simetriden $a>0, c>0$ durumundaki çözüm sayısı, $a<0, c<0$ durumu ile aynıdır. $a>0, c>0$ kabul edelim. $a x^2+b x+c=0$ denkleminin en küçük kökü $\dfrac{-b-\sqrt{b^2-4 a c}}{2 a}$ ve $c x^2+b x+a=0$ denkleminin en büyük kökü $\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4 a c}}{2 c}$ olur. Bu iki ifadeyi eşitleyip gerekli sadeleştirmeleri yaparsak $(a+c)^2=b^2$ elde ederiz. Buradan da $a+c=|b|$ elde ederiz. $b>0$ için $a+c=b$ ve $a>c, b<0$ için ise $a+c=-b$ ve $c>a$ olmalıdır. Simetriden dolayı her iki durum için çözüm sayısı eşittir. $b>0$ için $a+c=b$ ve $a>c$ durumunda her $b>0$ değeri için $\lfloor(b-1) / 2\rfloor$ tane $(a, c)$ ikilisi elde ederiz. $b=1,2, \ldots, 10$ durumları için toplamda $0+0+1+1+2+2+3+3+4+4=20$ adet çözüm gelir. $b<0$ için de $20$ çözüm vardır. Buradan da $40$ çözüm buluruz. Son olarak tüm çözümleri $-1$ ile çarparsak $40$ yeni çözüm elde ederiz. Sonuç olarak toplam çözüm sayısı $80$ olur.

Kaynak: Tübitak 24. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınav Soru ve Çözümleri 2016

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal