\[
ax^2 + bx + c = 0\,\,\,\,kökleri;\,\,\,\,\frac{{ - b \pm \sqrt \Delta }}
{{2a}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,cx^2 + bx + c = 0\,\,\,\,\,\,kökleri;\,\,\,\frac{{ - b \pm \sqrt \Delta }}
{{2c}}
\]
İlk denklemin en küçük kökü ve ikinci denklemin en büyük kökünün eşit olduğu söyleniyor. b'nin negatif yada pozitif olmasına göre denklemlerin en küçük ve en büyük kökü bulunurken kök(diskriminantın) işareti de değişir ancak kök(diskriminantın) işaretinin - yada + olması içler dışlar çarpımı yapıldığında ortaya çıkacak denklemi etkilemeyecektir. Düzenleyelim;
\[
\frac{{ - b - \sqrt \Delta }}
{{2a}} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}
{{2c}}\,
\]
\[
2ab - 2bc = (2a + 2c) \cdot \sqrt \Delta
\]
\[
2ab - 2bc = \sqrt {(2a + 2c)^2 \cdot (b^2 - 4ac)}
\]
\[
(2ab - 2bc)^2 = (2a + 2c)^2 \cdot (b^2 - 4ac)
\]
\[
b^2 = (a + c)^2 \,\,\,\,elde\,\,edilir.
\]
Ayrıca köklü diskriminant ifadesi negatif olamayacağından eşitsizliğin sol yanının 0'dan büyük olduğunu da biliyoruz;
\[
2ab - 2bc = (2a + 2c) \cdot \sqrt \Delta \,\xrightarrow{{}}\,\,\,\frac{{2ab - 2bc}}
{{2a + 2c}} \geqslant 0\xrightarrow{{}}\,\,\,\frac{{b(a - c)}}
{{(a + c)}} \geqslant 0
\]
\[
\frac{{b(a - c)}}
{{(a + c)}} \geqslant 0\,\,\,ifadesi\,\,a \ne c\,\,ve\,\,b \ne 0\,\,olduğundan\,\,\frac{{b(a - c)}}
{{(a + c)}} \succ 0\,\,\,kabul\,\,edilir.
\]
\[
b^2 = (a + c)^2 \,\,\,\,,\,\,\,\,\,\frac{{b(a - c)}}
{{(a + c)}} \geqslant 0\,\,\,\,\,ve\,\,\,\,a \ne c\,\,\,\,koşulunu\,\,\,sağlayan\,\,\,1 \leqslant \left| a \right|,\left| b \right|,\left| c \right| \leqslant 10\,\,\,aralığındaki\,\,\,(a,b,c)\,\,\,\,üçlüleri\,\,istenilen\,\,cevapt\imath r.
\]
b'ye sırasıyla 10,9.8,...,1 değerleri verildiğinde yukarıdaki elde ettiğimiz denklem ve eşitsizliğe göre;
b=(10,9) 8'er farklı (a,c) ikilisi (8.2=16)
b=(8,7) 6'er farklı (a,c) ikilisi (6.2=12)
b=(6,5) 4'er farklı (a,c) ikilisi (4.2=8)
b=(4,3) 2'er farklı (a,c) ikilisi (2.2=4)
b=(2,1) 0'er farklı (a,c) ikilisinin sağladığı rahatça görülür. (Toplam:40 adet)
Ayrıca b'nin (-1,-2,...,-10) değerlerinde de durumun senkronize olduğu görülür. 40+40=80 farklı (a,b,c) karesel üçlüsü bulunmaktadır.
\[
Cevap:E
\]