Tübitak Lise 1. Aşama 2016 Soru 06

[mehmetutku]

$n$ bir pozitif tam sayı ve $a_{1},a_{2}, \ldots , a_{n}$ birer tam sayı olmak üzere her $i=1,2, \ldots , n$ için $b_{i}={a_{i}}^2$ olarak tanımlanıyor. Hiçbir $(a_{1},a_{2}, \ldots , a_{n})$ tam sayı $n$-lisi için $2^{b_1}+2^{b_2}+\cdots+2^{b_n}-n^2$ ifadesi $7$ ile tam bölünmüyorsa $n$ kaç farklı değer alabilir?

$\textbf{a)}\ 1 \qquad\textbf{b)}\ 2  \qquad\textbf{c)}\ 3 \qquad\textbf{d)}\ 4 \qquad\textbf{e)}\ \text{Sonsuz çoklukta}$

[mehmetutku]

Yanıt: $\boxed{C}$

Tam kareler $\bmod 3$ te $0,1$ olduğu için ve $2^{3k} \equiv 1 \pmod 7$, $2^{3k+1} \equiv 2 \pmod 7$, $2^{3k+2} \equiv 4 \pmod 7$ olduğu için $2^{b_i} \equiv 1,2 \pmod 7$ olur. Dolayısıyla $T=2^{b_1}+2^{b_2}+\cdots+2^{b_n} \equiv n,n+1, \ldots, 2n \pmod 7$ dir. Görüldüğü üzere $n \ge 6$ için $T$ ifadesi $\bmod \ 7$ de her kalanı verebilir. $n^2 \equiv 0,1,2,4 \pmod 7$ olduğu için $n \ge 6$ ise $T \equiv 0,1,2,4 \pmod 7$ olacak şekilde $(a_{1},a_{2}, \ldots , a_{n})$  tam sayı $n$-lisi bulunabilir. $n=1,2,3,4,5$ için denenirse $n=3,4,5$ in istenen durumu sağladığı görülür.