Tübitak Lise 1. Aşama 2016 Soru 05

[mehmetutku]

Bir $ABC$ üçgeninde $m(\widehat{BAC})=45^\circ$ ve $[AC]$ üzerinde alınan bir $D$ noktası için $m(\widehat{DBC})=90^\circ$ dir. $\dfrac{|CD|}{|AB|}=2\sqrt2$ ise $m(\widehat{BDC})$ nedir?

$\textbf{a)}\ 52.5^\circ \qquad\textbf{b)}\ 60^\circ \qquad\textbf{c)}\ 67.5^\circ \qquad\textbf{d)}\ 75^\circ \qquad\textbf{e)}\ 90^\circ$

[taftazani44]

.

[geo]

Yanıt: $\boxed{D}$

$AB=\sqrt 2$ olsun. $CD=4$ olur.
$DC$ nin orta noktası $M$ olsun. $BM=2$ dir.
$B$ den $AC$ ye inilen dikmenin ayağı $H$ olsun. $\triangle ABH$ de, $BH=1$ olacaktır. Bu durumda $\angle BMH = 30^\circ$, dolayısıyla da $\angle BDC = 75^\circ$ olacaktır.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Yanıt: $\boxed{D}$

$\angle BDC=\alpha$ olsun. Buna göre $\sin\alpha=\dfrac{BC}{2\sqrt{2}}$ ve $\triangle ABD$'de Sinüs Teoremi'yle göre $\dfrac{1}{\sin\alpha}=BD\sqrt{2}$ olur. Buna göre $BC.BD=2$ belirlenir. $BC.BD=DC^2.\sin\alpha\cos\alpha=4\sin2\alpha$ olduğundan $\sin2\alpha=\dfrac{1}{2}\Longleftrightarrow \alpha=\angle BDC=75$ bulunur, zira $\alpha>45^{\circ}$ 'dir.