Yanıt: $\boxed C$
$$x^3 - x + 2 \equiv (x-r)^2(x-s) \pmod p$$
$$f(r) = r^3 - r + 2 \equiv 0 \pmod p ..*$$
$$f'(x) = 2(x-r)(x-s) + (x-r)^2 \Rightarrow f'(r)=3r^2 - 1\equiv 0 \pmod p ..**$$
$p=3$ için $$-1 \not\equiv 0 \pmod 3$$ olacağı için $p \neq 3$ tür.
Bu durumda denkliği $3$ ile genişletmek sorun çıkarmaz.
$$3f(r) \equiv 0 \pmod p \Rightarrow 3r^3 - 3r + 6 \equiv (3r^2-1)r - 2r + 6 \equiv 0 \pmod p$$
Daha önce elde ettiğimiz $f'(r)=3r^2 - 1\equiv 0 \pmod p$ özdeşliğini kullanarak,
$$-2r+6 \equiv 0 \pmod p \Rightarrow r \equiv 3 \pmod p \text{ veya } p=2$$
elde edilir. $r\equiv 3 \pmod p$ ise
$$f'(r)=3r^2-1\equiv 0 \pmod p \Rightarrow 26 \equiv 0 \pmod p \Rightarrow p=2 \text { veya } p=13$$
elde edilir. Sonuçta, $(p,r)=(13,3)$ veya $(p, r)=(2,3)\equiv (2,1) \pmod p$ elde edilir. Vieta formülüne göre, köklerin toplamları $0$ olacağı için $$r+r+s = 0 \Rightarrow s = -2r$$, buradan da $(p,r,s)=(13,3,7)$ ve $(p,r,s)=(2,1,0)$ çözümleri elde edilir.
Not: Mustafa Töngemen'e ait 2008 yılı basımlı Tübitak Matematik Olimpiyatı Soru ve Çözümleri kitabında cevap $(B)$ olarak verilmiştir. Oradaki çözüm hatalıdır.