Yanıt: $\boxed B$
Öncelikle şunu ifade edelim. Karenin iç bölgesindeki noktaları boyamıyoruz. Karenin kenarları üzerindeki noktaları boyuyoruz.
$ABCD$ karesinde $AB$ nin orta noktası $E$, $CD$ nin orta noktası $F$ olsun. $EF$ üzerinden kareyi ikiye bölelim. Bir tarafını tamamen kırmızıya, diğer tarafını tamamen maviye boyayalım.
$c < 2$ ise yukarıda anlatıldığı gibi bir boyamada, aynı renkte iki noktanın arasındaki uzaklık en fazla $\triangle ADF$ üçgenindeki $A, F$ noktaları arasındaki uzaklık kadardır. $AD=c$ ve $DF=\dfrac c2$ olduğu için Pisagordan $$AF^2 = AD^2 + DF^2 = c^2 + \dfrac {c^2}4 = \dfrac {5c^2} 4 \Rightarrow AF = \dfrac {c\sqrt 5}2$$ olur.
$c < 2 $ olduğu için $$AF = \dfrac {c\sqrt 5}2 < \dfrac {2\sqrt 5}2 < \sqrt 5$$ olacağı için, $c<2$ olan bir karede aralarındaki uzaklık $\sqrt 5$ olan aynı renk iki nokta bulunamayabilir. Demek ki, $c \geq 2$ olmalı. $c=2$ olan karede boyamalar nasıl yapılırsa yapılsın, aralarındaki uzaklık en az $\sqrt 5$ olan aynı renkte iki nokta bulunuyorsa aradığımız yanıt $c=2$. Bulunmuyorsa, bu durumda $c > 2$ olacak şekilde başka arayışlara gireceğiz.
$c=2$ olan bir kare ele alalım. Aralarındaki uzaklık $\sqrt 5$ ten küçük olacak şekilde boyama yapmaya çalışacağız. Bunu başarırsak, aradığımız yanıt $c=2$ değil. Başaramazsak, yani ne yaparsak yapalım, aralarındaki uzaklık en az $\sqrt 5$ olan aynı renkli iki nokta oluyorsa, aradığımız yanıt $c=2$ olacak.
$A$ ile $C$ aynı renkli olamaz. Olursa $AC=2\sqrt 2 > \sqrt 5$ olduğu için, soruda istenen şekilde boyama yapmış oluruz. Hatırlatalım, elimizden geldiğince bu şekilde boyama yapmayacağız. Benzer şekilde $B$ ile $D$ de aynı renkli olamaz. O zaman bu durumda ya $B$ ile $C$, ya da $C$ ile $D$ aynı renkli. $B$ ile $C$ aynı renkli olsun. Bu durumda $A$ ile $D$ de aynı rekli olur. Genelliği bozmadan $B$ ile $C$ yi kırmızı, $A$ ile $D$ yi de mavi kabul edelim. $E$ ya kırmızı ya da mavi olacak. Mavi ise, $DE=\sqrt 5$ olacak; kırmızı ise $CE=\sqrt 5$ olacak. Yani ne yaparsak yapalım aralarındaki uzaklık $\sqrt 5$ olan aynı renkli iki nokta bulabiliyoruz. Bu durumda, bu şartı sağlayan karelerin en küçük kenarlısı için $c=2$ dir.
Not: Mustafa Töngemen'e ait 2008 yılı basımlı Tübitak Matematik Olimpiyatı Soru ve Çözümleri kitabında cevap $(E)$ olarak verilmiştir. Oradaki çözüm hatalıdır.
