Tübitak Lise 1. Aşama 1999 Soru 25

[geo]

$ABC$ üçgeninde $m(\widehat{A}) = 80^\circ$ ve $|AB|=|AC|$ dir. $[AB]$ üstünde $K$ ve $[AB$ üstünde $L$ noktaları, $|AB|^2 =|AK|\cdot |AL|$ ve $|BL|=|BC|$ olacak şekilde alınıyor. $m(\widehat{KCB})$ kaç derecedir?

$
\textbf{a)}\ 20
\qquad\textbf{b)}\ 25
\qquad\textbf{c)}\ 30
\qquad\textbf{d)}\ 35
\qquad\textbf{e)}\ 40
$

[geo]

$$BC=BL, \angle BLC = 25^\circ, AK\cdot KL = AB^2 = AC^2$$ olduğu için $\triangle ACK \sim \triangle ACL$, dolayısıyla da  $$\angle ACK = \angle ALC = 25^\circ \Rightarrow \angle KCB = 25^\circ$$ olacaktır.

Benzerliği fark edemeyenler için $$AK \cdot KL = AC^2 \Rightarrow \dfrac{AK}{AC} = \dfrac{AC}{AL} $$ ve $$\angle KAC = \angle LAC $$ olduğu için $\triangle ACK \sim \triangle ACL$ $(K.A.K)$ dır. Aslında bu tip soruda \textit{benzerlik vardır} ara adımını atlayabiliriz. $AK\cdot AL = AC^2 $ ifadesi $A$ dan $\triangle CKL$ üçgeninin çevrel çemberine çizilen teğetin denklemidir. Bu durumda teğet-kiriş açıdan $\angle ACK = \angle ALC$ olacaktır. Bu tip $xy = z^2$ tarzı eşitliklerde, teğet-kiriş açıyı hemen fark etmemiz gerekiyor.