Tübitak Lise 1. Aşama 1999 Soru 23

[geo]

Saat kısmı $1$ den $12$ ye kadar olan sayıları gösteren dijital bir saatin, dakika kısmı doğru çalışmakta, ancak saat kısmı bir bozukluk sonucu, saat başlarında $n:59$ dan sonra, ($n+1$ ve $2n$, $\bmod {12}$ düşünülmek üzere), $(n+1):00$ olacağına, $2n:00$ a atlamaktadır. (Örneğin, saat, $7:00$ a ayarlanırsa, bir saat sonra $8:00$ yerine $2:00$ olmaktadır.) Saati gelişi güzel bir zamana ayarlar ve aradan bir gün geçtikten sonra saate bakarsak, saat kısmının $4$ ü gösteriyor olma olasılığı kaçtır?

$
\textbf{a)}\ \dfrac{1}{12}
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac{1}{4}
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{1}{3}
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac{1}{2}
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[geo]

Saat şu anda $n:30$ olsun. $1$ saat sonra $2n:30$ olacaktır. Buna göre, saat $24$ saat içerisinde
$$\begin{array}{rcl}
t_0 &\equiv& n \pmod {12} \\
t_1 &\equiv& 2n \pmod {12}\\
\vdots \\
t_{24} &\equiv& 2^{24}n \pmod {12}
\end{array}$$
değerlerini alacaktır. $24$ saat sonra $$t_{24} \equiv 2^{24} \equiv 4 \pmod {12}$$ olacaksa $$2^{24}n \equiv 4n \equiv 4\pmod {12} $$ denkliğinden $k$ bir tam sayı olmak üzere; $$4n - 4 = 12k \Rightarrow n-1 = 3k \Rightarrow n =3k+1$$ elde edilir. $[1,12]$ aralığındaki $12$ sayıdan $\{1,4,7,10\}$ sayılarının $3$ ile bölümünden kalan $1$ olduğu için $$P(2^{24}n \equiv 4 \pmod {12}) = \dfrac {4}{12} = \dfrac 13$$ olarak bulunur.