Tübitak Lise 1. Aşama 1999 Soru 22

[geo]

Aşağıdaki sayılardan hangisi, $m$ ve $n$ tam sayılar olmak üzere, $m^2+3mn-4n^2$ şeklinde ifade edilemez?

$
\textbf{a)}\ 69
\qquad\textbf{b)}\ 76
\qquad\textbf{c)}\ 91
\qquad\textbf{d)}\ 94
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[geo]

$$A = m^2+3mn-4n^2 =(m+4n)(m-n)$$ olduğu için,
$$\begin{array}{rcl}
m+4n &=& a_1 \\
m-n &=& a_2 \\
\end{array}$$ deyip taraf tarafa çıkarırsak,
$$\begin{array}{rcl}
5n &=& a_1-a_2 \\
n &=& \dfrac{a_1-a_2}{5} \\
m &=& n+a_2 \\
A &=& a_1a_2
\end{array}$$ elde ederiz. $A$ sayısını farkları $5$ ile bölünen iki sayının çarpımı biçimde yazabilirsek, $A$ sayısı $$m^2+3mn-4n^2 = (m+4n)(m-n)$$ şeklinde ifade edilebilir. Bu durumda $A=69=23\cdot 3$, $A=76=76\cdot 1$, $A=91=91\cdot 1$ ve $A=94=47\cdot 2$ sayılarının hepsi farkları $5$ ile bölünen iki sayının çarpımı şeklinde yazılabilir.