Tübitak Lise 1. Aşama 1999 Soru 12

[geo]

$$x^2 + y^2 + z^2 = 21$$ $$x + y + z + xyz = -3$$ $$x^2yz + y^2xz + z^2xy = -40$$ denklem sistemini sağlayan kaç $(x, y, z)$ gerçel sayı üçlüsü vardır?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 3
\qquad\textbf{c)}\ 6
\qquad\textbf{d)}\ 12
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{C}$

$(xyz)(x+y+z) = -40$ ve $xyz + x+y+z = -3$ denklemlerini $xyz = P$ ve  $x+y+z=S$ diyerek ortak çözersek

$$\begin{array}{rcl}
P+S &=& -3\\
PS &=& -40\\
P(-3-P) &=& -40\\
P^2+3P-40 &=& 0 \\
\end{array}$$
$P=-8, S=5$ ya da $P=5, S=-8$ elde ederiz.
$$(x+y+z)^2 = (x^2+y^2+z^2) + 2xy + 2yz +2xz$$ özdeşliğinden dolayı

$$\begin{array}{rcccl}
x+y+z = -8 &\Rightarrow& xy+yz+yz = \dfrac{43}2 &,& xyz = 5 \\
x+y+z = 5 &\Rightarrow& xy+yz+yz = 2 &,& xyz=-8
\end{array}$$
elde edilir. Vieta Teoremine göre $x, y, z$ sayıları
$$ x^3 + 8x^2 + \dfrac {43}{2}x - 5 = 0 $$ ya da
$$ x^3 - 5x^2 + 2x + 8 = 0 $$ denklemlerinin kökleridir. Kolaylık olsun diye önce ikincisini çözelim.
$$f(x)=x^3-5x^2+2x -8 \Rightarrow f(-1)=0 $$ olduğu için, denklemin bir kökü $x=1$ sayısı, polinom bölmesi yaparak $$f(x)=(x+1)(x-2)(x-4)$$ elde ederiz. Bu durumda $x=-1, y=2, z=4$ sorudaki denklem sisteminin çözüm kümesinin bir elemanıdır. $3!=6$ farklı şekilde $(x,y,z)$ sıralı gerçel üçlüsü elde edileceği için şu an için $6$ farklı gerçel çözüm bulduk.
$$ x^3 + 8x^2 + \dfrac {43}{2}x - 5 = 0 $$ denklemine dönersek, $f(0) = -5$ ve $f(1) > 0$ olduğu için denklemin $(0,1)$ aralığında en az bir gerçel kökü vardır. Bunun yanında $$f'(x) = 3x^2 + 16x + \dfrac{43}2=0 \Rightarrow \Delta = 16^2 - 4\cdot3\cdot \dfrac {43}2 = -2 < 0  $$ olduğu için denklemin karmaşık (kompleks) kökleri vardır. Bu son yaptığımızı biraz açarsak, normalde 3. dereceden bir eğrinin üç gerçel kökü olması için, $x$-eksenini üç kez kesmesi gerekir. Bu durum da eğrinin iki yerel ekstremumu olması gerekir. Biraz daha yalın türkçeyle, eğrinin ekseni üç kez kesmesi için eğrinin iki kez kambur oluşturması gerekir. Bu noktalardaki türev, yani eğriye çizilen teğetler $x$-eksenine paralel olacağı için bu teğetlerin eğimi $0$, yani o noktalardaki türev $0$'dır. Diğer bir ifadeyle fonksiyonun türevini $0$'a eşitlersek, fonksiyonun davranış (artan-azalan) değiştirdiği, kambur oluşturduğu noktaları buluruz. Bu şekilde gerçel noktalar olmadığı için denklemin iki kökü karmaşık, bir kökü gerçeldir. Bizim için tüm köklerin gerçel olması gerektiği için, bu denklemden gerçel kök çıkmaz.
Bu durumda sadece $(-1,2,4)$ sayılarının permütasyonu kadar çözüm vardır.

[geo]

$x+y+z = -8$ ve $xyz = 5$ durumunda reel çözüm olamayacağını türev gerektirmeden de gösterebiliriz.

$xyz > 0$ ve $x+y+z < 0$ olduğu için $x,y,z$ sayılarından tam olarak ikisi negatif olmalı.
Genelliği bozmadan $x \leq y < 0 < z$ olsun.

$AO \geq GO$ eşitsizliğinden $x^2 + y^2 \geq 2xy$.

Her iki tarafa $x^2 + y^2$ eklersek $2(x^2 + y^2) \geq (x+y)^2$

$x^2 + y^2 + z^2 = 21$ olduğu için $21 > x^2 + y^2$ olacaktır.

$42 > 2(x^2 + y^2) \geq (x+y)^2 = (-8-z)^2 = (8+z)^2 > 64$ çelişkisini elde etmiş olduk.

O halde $x+y+z = -8$ ve $xyz = 5$ durumunda reel çözüm yoktur.