Tübitak Lise 1. Aşama 1999 Soru 11

[geo]

$1$ den $10$ a kadar olan tam sayılar, yandaki şekildeki on kutuya yerleştiriliyor. En üst sıradakiler dışında her kutudaki sayı, hemen üstündeki iki kutuda bulunan sayıların farkına eşitse, en alttaki kutuya yerleştirilen sayı en çok kaç olabilir?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ 4
\qquad\textbf{e)}\ 5
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{D}$

Herhangi iki sayının farkı $10$ olamayacağı için $10$ en üstte olmalı. Bu durumda ikinci satırdaki en büyük rakam, en fazla $9$ olabilir. Üçüncü satırdaki en büyük rakam $8$ olamaz; çünkü bu durumda hemen üstünde $9-1$ olması gerekir. $9$'u üretmenin tek yolu $10-1$ olduğu için, $1$ de kullanıldığı için mümkün değil. Demek ki, üstten üçüncü satırdaki en büyük rakam en fazla $7$ olabilir. En alttaki sayının $5$ olduğunu düşünelim.
$7$ yi üretmek için $8-1$ ya da $9-2$ gerekli. $7-2=5$ olduğu için $2$ kullanılmış. Bu durumda $7$'in üstünde $8$ ve $1$ var. $8$, $9-1$ ya da $10-2$ şeklinde üretileceğinden $1$ de $2$ de kullanıldığından $7-2=5$ şeklinde son üç kutu yerleştirilemez. $5$ olabilmesi için geriye tek ihtimal kalıyor. O da $6-1=5$. $6$ yı üretmek için $8-2$ ya da $9-3$ gerekli. $8=10-2=9-1$ olacağından iki durumda da $1$ ve $2$ aşağılarda kullanıldığı için $6=8-2$ olamaz. $9-3$ için $9=10-1$ olacağından, $1$ de aşağıda kullanıldığından bu da mümkün değil. Demek ki, en alttaki kutuya $5$ gelemez.

$4$ olabilir mi? $$\begin{array}{ccccccc}
9&&10&&3&&8 \\
&1&&7&&5 \\
&&6&&2 \\
&&&4
\end{array} $$

Bir diğer çözüm de $$\begin{array}{ccccccc}
8&&10&&3&&9 \\
&2&&7&&6 \\
&&5&&1 \\
&&&4
\end{array} $$

Not: Bu sorunun benzeri IMO 2018/3 te karşımıza çıkıyor.

[geo]

En alttaki sayı $a$ olsun.
$a$ nın hemen üstündeki iki sayıdan küçük olanı $b$ olsun. Büyük olanı $a+b$ olacaktır.
$a+b$ nin hemen üstündeki iki sayıdan küçük olanı $c$ olsun. Büyük olanı $a+b+c$ olacaktır.
$a+b+c$ nin hemen üstündeki iki sayıdan küçük olanı $d$ olsun. Büyük olanı $e=a+b+c+d$ olacaktır.
$a,b,c,d$ farklı sayılar olduğu için $e\geq 1+2+3+4 = 10$ olacaktır. Bu durumda $e=10$ ve $a< 5$ olacaktır.

$$\begin{array}{ccccccc}
9&&10&&3&&8 \\
&1&&7&&5 \\
&&6&&2 \\
&&&4
\end{array} $$
$$\begin{array}{ccccccc}
8&&10&&3&&9 \\
&2&&7&&6 \\
&&5&&1 \\
&&&4
\end{array} $$
$$\begin{array}{ccccccc}
6&&1&&10&&8 \\
&5&&9&&2 \\
&&4&&7 \\
&&&3
\end{array} $$
$$\begin{array}{ccccccc}
6&&10&&1&&8 \\
&4&&9&&7 \\
&&5&&2 \\
&&&3
\end{array} $$