Tübitak Lise 1. Aşama 1999 Soru 10

[geo]

En büyük ortak bölenleri $n$ olan tüm $a, b, c$ tam sayıları için
$$ \begin{array}{rcl}
x + 2y + 3z &=& a \\
2x + y - 2z &=& b \\
3x + y + 5z &=& c
\end{array}$$
denklem sisteminin $x, y, z$ tam sayılar olmak üzere çözümünün bulunmasını sağlayan en küçük $n$ pozitif tam sayısı nedir?

$
\textbf{a)}\ 7
\qquad\textbf{b)}\ 14
\qquad\textbf{c)}\ 28
\qquad\textbf{d)}\ 56
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[geo]

Sistemi sırasıyla $- 1, 1, 1$ ile genişletip taraf tarafa toplayalım.
$$\begin{array}{lcl}  -x -2y -3z &=& -a \\ 2x + y - 2z &=& b \\ 3x + y + 5z &=& c  \end{array}$$
$4x = -a + b + c$ elde ederiz.
Sistemi sırasıyla $1, 4, 1$ ile genişletip taraf tarafa toplarsak $$12x + 7y =  a + 4b + c$$ elde ederiz. $x$ i yerine yazdığımızda $7y=4a+b-2c$ elde edilir.
Bulduğumuz değerleri yerine yazdığımızda $28z = a -5b +3c$ olarak bulunur.

En büyük ortak böleni $n$ olan tüm $a,b,c$ tam sayıları için sistemin sağlanması gerekeceğinden sistemin $a=b=c=n$ için de sağlanması gerekir. Bu durumda $28z=-n$ olduğu için $n$ en az $28$ olmalıdır.
$n=28$ olduğunda sistemin sağlandığı kolayca görülebilir.