N Kuvvetli Ardışık Doğal Sayılar ve Faktöriyel İlişkisi

[yusufardabaykal]

Tübitak 2204-A raporum için 1,4,9 veya 1,8,27 şeklinde ilerleyen örüntüleri inceliyordum. Birinde ardışık doğal sayılarda kuvvet 2 diğerinde 3 anlayacağınız üzere.
n=2 durumunda 1     4     9     16     25     36 şeklinde ilerliyor. Sonrasında ardışık olanların farklarını alıyorum.
                            3     5     7       9      11     oluyor. Tekrardan alıyorum.
                               2     2      2       2           oluyor. Zaten genelde fark ettiğimiz bir şey bu.
Burada n=2 kere sayıların farklarını almış olduk. n+1=2. sırada sırada sıralı 2! ulaştık. Peki neden 2 değil de 2! çünkü bunu n=3 için denediğimizde 4. sırada (3 kere fark aldığımız durumda) sürekli sıralı şekilde 6 görmüş oluyoruz. Bunu n=8'e kadar denedim, her seferinde (n+1). sırada sıralı n! oluyor.
Bunu özdeşliklerden yola çıkarak tekrardan bulabiliyorum fakat çok uzun sürüyor. Sizin de fikirlerinizi merak ettim, büyük bir durum değil zaten. Bunun sebebinin ne olabileceğini sizden de duymak isterim. İyi akşamlar, teşekkürler.

[barispro31]

Aslında bu için tümevarım kullanarak ispatı binom üçgeni ya da türevi kullanarak yapabilir dx=1 seçmek koşullar aslında burada sonlu kalkülüs yapmak uygun olur sigma n=1 n=sonsuza n**(k+1) kuvvet serisi olsun buna göre an+1) ile an farkına q(n) diye
polinom halkası olsun Bu da mantıken k mertebeden olacak iddiası şu q(n) biz sıfırıncı mertebeden bir ifadeye çevirmek istiyoruz onu yani indirgemeyi istiyoruz o zaman bunun k kere türevi almamız  gerekiyor zaten başındaki baş katsayısı k+1 o zaman ise (k+1) ! geliyor bilmiyorum literatürde böyle bir şey var mı Eğer varsa araştırabilirsin genel hatları böyue

[yusufardabaykal]

Dediğiniz mantıklı, tuttum. Literatürde de çok araştırdım ama halen daha bulabilmiş değilim, o yüzden projesini yazıyorum aslında. Hani böyle bir şey var, bunu yapınca oluyor gibisinden. Kesin bir ispat sunarsam güzel olacak. Hiç olmazsa özdeşlikler yardımıyla tümevarım yapacağım. Teşekkürler.

[Metin Can Aydemir]

$1^n,2^n,3^n,\dots, k^n$ dizisini ele alalım. Yani $a_i=i^n$ olsun. Sıkıntı çıkmasın diye $k$'yı yeterince büyük seçebiliriz, sanırım $k>n$ yeterli ama istersen $k>n^2$ gibi de seçebilirsin.

İkinci sıradaki farklar $i\geq 2$ için $i^n-(i-1)^n$ şeklinde olacak, üçüncü sırada ise $i\geq 3$ için $$\left[i^{n}-(i-1)^n\right]-\left[(i-1)^n-(i-2)^n\right]=i^n-2(i-1)^n+(i-2)^n$$ olacak. Benzer şekilde bir sonraki sırada da $i\geq 4$ için $i^n-3(i-1)^n+3(i-2)^n-(i-3)^n$ çıkacak. Tümevarım ile her sıradaki sayının $(m+1).$ sıradaki sayıların $i\geq m+1$ için $$i^n-\dbinom{m}{1}(i-1)^n+\dbinom{m}{2}(i-2)^n+\cdots$$ şeklinde olacağı gösterilebilir. $m=n$ için $(n+1).$ sıradaki sayılar $i\geq n+1$ için $$i^n-\dbinom{n}{1}(i-1)^n+\dbinom{n}{2}(i-2)^n-\cdots+(-1)^n\dbinom{n}{n}(i-n)^n$$ olacaktır. Sen bu sayının her $i\geq n+1$ için $n!$ olduğunu iddia ediyorsun.

Bu ifade aslında $i$ değişkenine bağlı, en fazla $n$. dereceden olan bir polinom. Eğer sen bunun sabit bir sayı olduğunu iddia ediyorsan, bunu göstermenin bir kaç yolu vardır,

Birincisi: Polinomun derecesinden daha fazla değer için polinomun sabit bir sayı çıkardığını gösterip aslında sabit bir polinom olduğunu göstermek. Daha sonrasında ise bu sabit değerin $n!$ olduğunu göstermek. İkinci aşama için $i=n$ koyup onun $n!$ olduğunu göstermeye çalışabilirsin.

İkincisi: Polinomun katsayılarını inceleyip birbirini götürdüğünü gösterebilirsin. Bu durumda iki tane toplam sembolüyle uğraşman gerekecek; $$P(i)=\sum_{r=0}^{n}(-1)^r\dbinom{n}{r}(i-r)^n=\sum_{r=0}^{n}\sum_{s=0}^{n}(-1)^r\dbinom{n}{r}\dbinom{n}{s}(-1)^si^{n-s}r^s=\sum_{r=0}^{n}\sum_{s=0}^{n}(-1)^{r+s}\dbinom{n}{r}\dbinom{n}{s}i^{n-s}r^s$$ olacaktır. Sen $n=s$ durumunda, yani sabit terimde, $n!$ çıktığını $n\neq s$ durumunda da, yani sabit olmayan terimlerin katsayılarında, $0$ çıktığını göstermeye çalışıyorsun. Yani $$\sum_{r=0}^{n}(-1)^{r}\dbinom{n}{r}r^n=(-1)^nn!,\quad\text{fakat } s\leq n-1\text{ için}\quad \sum_{r=0}^n(-1)^r\dbinom{n}{r}r^s=0$$ olduğunu göstereceksin. Bu iki yol farklı gözükse de özünde ispatlamaya çalıştığın adımlar neredeyse aynı.

[yusufardabaykal]

İki yolu da genel hatlarıyla anladım fakat i değişkeninin mantığını pek kavrayamadım. Biraz açabilir misiniz ?
Ayrıca sabit şekilde gitmesinin yanı sıra sıralı sabitler n! olarak ilerliyor her seferinde.