Uluslararası Matematik Olimpiyatı 1997 Soru 6

[geo]

Her $n$ pozitif tam sayısı için, $n$'nin, $2$'nin negatif olmayan tam sayı kuvvetlerinin toplamı olarak yazılış biçimlerinin sayısını $f(n)$ ile gösterelim. Toplamda geçen terimlerin yalnızca sırasının değişik olduğu yazılış biçimlerinini aynı sayıyoruz. Örneğin $4$ sayısı; $4$, $2+2$, $2+1+1$, $1+1+1+1$ olarak dört şekilde yazılabileceğinden $f(4)=4$ olur. Her $n\geq 3$ tam sayısı için $$2^{\frac {n^2}{4}} < f\left(2^n\right) <2^{\frac {n^2}{2}} $$ olduğunu kanıtlayınız.