Uluslararası Matematik Olimpiyatı 2003 Soru 4

[geo]

$ABCD$ kirişler dörtgeninde, $D$ noktasından $BC$, $CA$, $AB$ doğrularına inilen dikmelerin ayakları sırasıyla $P,Q,R$ olsun. $PQ=QR$ olması için gerek ve yeter koşulun $\angle ABC$ ile $\angle ADC$ açısının açıortaylarının $AC$ ile noktadaş olması olduğunu gösteriniz.

[geo]

$A,R,Q,D$ noktaları çemberseldir. Çemberin çapı $AD$ olup Sinüs Teoreminden $RQ = AD \cdot \sin \angle BAC$ dir.

$Q,C,P,D$ noktaları çemberseldir. Çemberin çapı $CD$ olup Sinüs Teoreminden $PQ = CD \cdot \sin \angle ACB$ dir.

Taraf tarafa oranlayalım: $$\dfrac{PQ}{QR} = \dfrac{AD}{CD} \cdot \dfrac{\sin \angle BAC}{\sin \angle ACB} = \dfrac{AD}{CD} \cdot \dfrac {BC}{AB}$$
$$PQ=QR \Longleftrightarrow \dfrac{AD}{CD} = \dfrac{AB}{BC}$$ Son eşitliğin olması için gerek ve yeter koşul kirişler dörtgeninin $B$ ve $D$ açıortaylarının $AC$ üzerinde kesişmesidir.