$$
g(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{f\left(2^n x\right)}{2^n}
$$ fonksiyonunun sorudaki şartları sağladığını iddia ediyoruz.
İlk olarak, her $x$ gerçel sayısı için limitin var olduğunu göstermeliyiz. Daha sonra ise tüm $x$ reel sayıları için $|f(x)-g(x)| \leq 1$ olduğunu kanıtlamalıyız. Öncelikle $f$ için verilen eşitsizlikte $x=y=2^m x_0$ yazdığımızda, $\left|f\left(2^{m+1} x_0\right)-2 f\left(2^m x_0\right)\right| \leq 1$ eşitsizliğini elde ederiz. Her iki tarafı $2^{m+1}$ ile böldüğümüzde aşağıdaki eşitsizliği elde ederiz:
$$
\left|\frac{f\left(2^{m+1} x_0\right)}{2^{m+1}}-\frac{f\left(2^m x_0\right)}{2^m}\right| \leq \frac{1}{2^{m+1}} .
$$
Sabit herhangi bir $x$ için, sonsuz teleskopik toplamı düşünelim:
$$
\sum_{m=0}^{\infty}\left(\frac{f\left(2^{m+1} x\right)}{2^{m+1}}-\frac{f\left(2^m x\right)}{2^m}\right) .
$$
Kısmi toplamların mutlak değerini incelersek, üçgen eşitsizliğinden,
$$ \left\lvert\sum_{m=0}^{n}\left(\frac{f\left(2^{m+1} x\right)}{2^{m+1}}-\frac{f\left(2^m x\right)}{2^m}\right)\right\rvert\leq \sum_{m=0}^{n}\left\lvert\left(\frac{f\left(2^{m+1} x\right)}{2^{m+1}}-\frac{f\left(2^m x\right)}{2^m}\right)\right\rvert \leq \sum_{m=0}^{n}\frac{1}{2^{m+1}}=1-\frac{1}{2^{n+1}}<1
$$
olacağından, sonsuz teleskopik toplam yakınsıyordur. Öte yandan, tanım gereği, bu sonsuz toplam şuna eşittir:
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{m=0}^n\left(\frac{f\left(2^{m+1} x\right)}{2^{m+1}}-\frac{f\left(2^m x\right)}{2^m}\right) .
$$
Limit içindeki teleskopik toplam, $\left(\frac{f\left(2^{n+1} x\right)}{2^{n+1}}\right)-f(x)$'e eşittir, bu da yukarıdaki limitin şu şekilde yazılmasını sağlar:
$$
\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{f\left(2^{n+1} x\right)}{2^{n+1}}-f(x)\right) .
$$
Şimdi, sabit $f(x)$ terimini limitin dışına çıkararak şu ifadeyi elde ederiz:
$$
\left(\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{f\left(2^{n+1} x\right)}{2^{n+1}}\right)-f(x) .
$$
Bu son ifadedeki dizi yakınsaktır, ayrıca $g(x)$'i tanımlamak için kullanmak istediğimiz limitin tam olarak kendisidir. Ayrıca yukarıda gördüğümüz gibi, bu son miktar en fazla $1$'dir, bu nedenle şu eşitsizliği elde ederiz:
$$
|g(x)-f(x)| \leq 1
$$
Şimdi geriye her $x,y$ için $g(x+y)=g(x)+g(y)$ olduğunu göstermek kalıyor. Şu gözlemi yapalım:
$$
\begin{aligned}
g(x +y)-g(x)-g(y)& =\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{f\left(2^n(x+y)\right)}{2^n}-\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{f\left(2^n x\right)}{2^n}-\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{f\left(2^n y\right)}{2^n} \\
& =\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{f\left(2^n(x+y)\right)-f\left(2^n x\right)-f\left(2^n y\right)}{2^n} .
\end{aligned}
$$
Verilen şarttan dolayı, $n$ için $\left|f\left(2^n(x+y)\right)-f\left(2^n x\right)-f\left(2^n y\right)\right| \leq 1$ olduğundan, bu ifadenin içindeki terim $-\frac{1}{2^n}$ ile $\frac{1}{2^n}$ arasında olacaktır. $\lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2^n}=0$ olduğundan, sıkıştırma kuralından, yukarıdaki ifadedeki limitin $0$ olduğu sonucuna varırız. Bu nedenle, $g(x+y)=g(x)+g(y)$'dir.
Kaynak: Mathematical Olympiads 2000 – 2001: Problems and Solutions from Around the World, Syf. 144-145.
