Tübitak Lise Takım Seçme 2000 Soru 2

[Lokman Gökçe]

$ABC$ üçgeninde $A$ köşesine ait iç ve dış açıortaylar $BC$ yi sırasıyla $D$ ve $E$ de kesiyor. $DE$ çaplı çember ile $AC$, ikinci kez $F$ de kesişiyor. $ABF$ üçgeninin çevrel çemberine $A$ da teğet olan doğru $DE$ çaplı çember ile ikinci kez $G$ de kesişiyor. $\vert AF\vert =|AG|$ olduğunu gösteriniz.

[geo]

$F$ merkezli çember $B,C$ noktalarına ait $A,D,E$ den geçen Apolonyus çemberidir. Çember üzerindeki her $F$ noktası için $FBC$ üçgenlerinde $DF$ iç açıortay ve $EF$ dış açıortaydır. $\angle DFC=\dfrac{\angle BFC}{2}=\angle BEA$ ve $\angle DAC=\dfrac{\angle BAC}{2}=\angle BEF$.

$\angle AEB+\angle BEF=\angle AEF=\angle AGF=\dfrac{\angle BFC}{2}+\dfrac{\angle BAC}{2}$ ve

$\angle ABF={180}^{\circ }-\angle BAF-\angle BFC={180}^{\circ }-2\cdot \angle AGF\Rightarrow \angle AFG=AGF\Rightarrow AF=AG$ dir.