Tübitak Lise Takım Seçme 1999 Soru 6

[Lokman Gökçe]

Düzlemin sonlu sayıda parabolün iç bölgelerinin birleşimi olmadığını gösteriniz. (Bir parabolün dış bölgesi, parabolü kesmeyen doğruların birleşimidir. Bir parabolün iç bölgesi ise, parabolün dış bölgesinde olmayan noktaların oluşturduğu kümedir.)

[geo]

Düzlemde bir parabol alalım ve koordinat sistemini öyle seçelim ki, bu sistemde parabolün denklemi $y=ax^2$, $(a>0)$ olsun. Parabolün iç bölgesindeki $(x,y)$ noktaları (sınırlardaki noktalar dahil) için $y\ge ax^2$ sağlanacaktır.
Şimdi, $y$-eksenine paralel olmayan herhangi bir $y=kx+b$ doğrusunu ele alalım. Bu doğrunun en fazla sonlu bir kısmının ``aydınlanabileceğini'' görelim. Aydınlanmış noktaların birinci koordinatı olan $x$ için $kx+b\ge ax^2$ eşitsizliği sağlanmalıdır. Buradan, $ax^2-kx+b\le 0$ olduğu görülür. Eğer $P\left(x\right)=ax^2-kx+b\ $ $\left(a>0\right)$ polinomunun diskriminantı $D=k^2-4ab$ negatif ise, doğru, parabolü hiç kesmiyor; $D\ge 0$ ise; doğru, parabolü $\left(x_1,y_1\right),\left(x_2,y_2\right)$ gibi, $D=0$ durumunda çakışan, iki noktada keser ve doğrunun aydınlanan kısmı bu iki noktayı birleştiren doğru parçasıdır. $D=0$ durumunda doğrunun bir tek noktası aydınlanmıştır. Böylece, parabolün simetri eksenine paralel olmayan her doğrunun en fazla sonlu bir parçası aydınlanabilir.

Şimdi, sonlu sayıda fener, dolayısıyla, onların aydınlattığı sonlu sayıda parabol, düzlemde nasıl yerleştirilmiş olursa olsun, bu parabollerin hiç birinin simetri eksenine paralel olmayan bir doğrunun tamamı aydınlanamaz. (Böyle bir doğru var mıdır? Bir noktadan geçen $n$ adet parabollerin simetri eksenlerine paralel olan $n$ adet doğru vardır. Bu noktadan geçen diğer doğruların hiçbirisi bu parabollerin simetri eksenlerinden birine paralel değildir.) Bu nedenle düzlemin tamamı aydınlanamaz.


Not:
Bu soru 2000 yılındaki 5. Antalya Matematik Olimpiyatında da sorulmuştur.

Kaynak:
Matematik Dünyası 2000-IV

[geo]

Bir parabolün iç bölgesini istediğimiz kadar küçük bir açının iç bölgesi içine alabiliriz.

Çünkü, düzlemde koordinat sistemini, şekilde görüldüğü gibi, parabolün tepe noktası orijin ve simetri ekseni $y$-ekseni olacak şekilde seçersek; parabol üzerinde $y$-eksenine göre simetrik olan iki noktadan teğetler çizersek, bu teğetler $y$-eksenin üzerinde bir $A$ noktasında kesişirler. Böylece oluşan açının iç bölgesi, parabolün iç bölgesini içerir. Teğetleri uygun yerden çizerek, oluşan  $\alpha$ açısını istediğimiz kadar küçültebileceğimiz açıktır.

Parabollerin sayısı $n$ olsun ver her bir parabolü köşesi $A_i$, $1\le i\le n$ de olan ve $\dfrac{2\pi}{n}$ den küçük olan $\alpha_i$ açısının içine alalım. Eğer düzlem bu şekilde $\dfrac{2\pi}{n}$ den küçük $n$ tane açı tarafından örtülebilseydi, köşeleri çakışan $n$ tane $\dfrac{2\pi}{n}$ den küçük açı tarafından örtülebilmesi gerekirdi. Fakat bu mümkün değildir; çünkü sözü edilen ortak köşeyi merkez kabul eden bir çember çizilirse, çemberin bu açılarla örtülemeyeceği görülür.

Kaynak:
Sabri YILMAZ
Matematik Dünyası 2000-IV

[geo]

Aynı soru 1996 yılında 6. Vojtěch Jarník Uluslararası Matematik Yarışması, Kategori 2 Soru 1 de sorulmuş.