(Mehmet KAYSİ)
Cevap: $2n-3$.
Tümevarımla ispatlayacağız. $n=3$ iken, $k\leq 3$ olduğunu görmek kolay ve $3$'e örnek de $\{1\},\{2\},\{3\}$. Farzedelim ki $n-1$ için cevap $2n-5$ olsun.
$n$ için $k$'nın en büyük değerini aldığı durumu ele alalım. $\{A_1, A_2, \ldots A_k\}$ 'ye koleksiyon diyelim. Koleksiyonda boş kümenin ve $\{1,2,\dots ,n\}$'nin olamayacağı açık. Bu koleksiyon her $i$ için, $\{i\}$ ve $\{i\}^{'}$ kümelerinden tam olarak birini içermek zorunda. Ikisini birden içeremez, ikisini de içermiyorsa bir tanesini ekleyerek koleksiyonu büyütebilirdik.
$A$ bu koleksiyondaki bir küme ise, $A$'yı silip, $A^{'}$'ni eklersek tüm koşullar sağlanmaya devam eder. O zaman koleksiyondaki her kümenin eleman sayısının en fazla $\frac{n}{2}$ olduğunu kabul edebiliriz. Tek elemanlı olmayıp en az eleman sayısına sahip bir küme $A$ olsun. Genelliği bozmadan $1,2 \in A$ varsayabiliriz. $B$ bu koleksiyonda $\{1\}$ ve $\{2\}$ dışında bir küme olsun.
$A\cap B={\varnothing} $ ise, $1,2 \notin B$,
$A\cap B^{'}={\varnothing}$ ise, $A\subset B$ $\Rightarrow $ $1,2 \in B$,
$A^{'}\cap B={\varnothing}$ ise, $B\subset A$, ama bu $A$ ve $B$'nin seçiminden dolayı mümkün değil.
$A^{'}\cap B^{'}={\varnothing}$ ise, $A\cup B=\{1,2,3, \dots , n\}$. $n$ tekse, $|A|,|B|\leq \frac{n-1}{2}$ olduğundan bu mümkün olamaz. $n$ çiftse, tek olası durum $B=A^{'}$ olmasıdır, ama bu durumda da bahsi geçen dört kesişimden ikisi boş küme olur.
Yani $B$, $1$ ve $2$'nin ya iksini de içerir, ya da ikisini birden içermez. O halde $\{1\}$ ve $\{2\}$ yi silip $\{1,2\}$'yi bir eleman gibi düşünürsek, $n-1$ için olan duruma geçmiş oluruz. Öyleyse $n$ için cevap en fazla $2n-5+2=2n-3$ olabilir. $2n-3$ için de örnek: tüm tek elemanlılar ve $\{1,2\}$, $\{1,2,3\}$,$\{1,2,3,4\}$,$\dots$, $\{1,2,3,\dots ,n-2\}$
