Tübitak Lise 2. Aşama 2000 Soru 6

[geo]

Her $x\in [0,1]$ için $f^{n}(x)=x$ olacak şekilde bir $n$ pozitif tam sayının bulunmasını olanaklı kılan tüm $f:\lbrack 0,1\rbrack \to \lbrack 0,1\rbrack $ sürekli fonksiyonlarını bulunuz.
($x \in [0,1]$ olmak üzere, $f^{n}(x)$; $f^{1}(x)=f(x)$ ve her $k$ pozitif tam sayısı için $f^{k+1}(x) = f\left(f^{k}(x)\right)$ bağıntıları aracılığıyla tanımlanıyor.)

[geo]

$f(a) = f(b) \Rightarrow f^n(a) = f^n(b) = a = b$ olacağı için $f$ birebir ve örtendir. Bu durumda sürekli $f$ fonksiyonu ya artandır ya azalandır. (Aksi durumda, en az iki nokta için $f$ aynı değeri alırdı.)

• $f$ azalan olsun.
  $f(0) = 1$ ve $f(1)=0$ olmalı. Bu durumda fonksiyon $y=x$ doğrusunu bir $0<k<1$ noktasında kesmeli. Bu noktada $f(k)=k$ dır.
  $0<a<k$ şeklinde bir sayı alalım. Bu sayı için $f(a)=b$, $f(b)=c$ olsun.
  
  $(i)$ $f^2(a) = c > a$ olarak kabul edelim.
  $b>k>c>a$ olduğu için $f(a)>f^2(a)>a$ dır.
  Her iki tarafın $f$ sini alırsak, ($f$ azalan bir fonksiyon olduğu için) eşitsizlik yön değiştirecektir.
  Bu durumda $f^2(a) < f^3(a) < f(a)$ olur. Bir önceki eşitsizliğimizdeki $a<f^2(a)$ ifadesini de bu yeni eşitsizliğe eklemlersek $a< f^2(a)<f^3(a)<f(a)$ ele ederiz.
  
  Her tarafın tekrar $f$ sini alırsak, $f(a) > f^3(a)>f^4(a)>f^2(a)>a$ elde edeceğiz.
  Sonuç olarak $f^n(a)$ sürekli $f(a)$ ile $f^2(a)$ arasında yer alıyor. Bu durumda $c>a$ için $ f^n(a)\neq a $ olduğunu gözlemlemiş olduk.
  
  $(ii)$ $f^2(a) = c < a$ olarak kabul edelim.
  $b>k>a>c$ olduğu için $f(a) > a > f^2(a)$.
  Her iki tarafın $f$ sini alırsak $f^2(a)<f(a)<f^3(a)$. Elde edilen eşitsizliği $ f^2(a)<a<f(a) $ ile birleştirirsek $ f^2(a)<a<f(a)<f^3(a) $ elde edeceğiz.
  $f$ almaya devam edersek;
  $ f^3(a)<f(a)<f^2(a)<f^4(a)\Rightarrow f^3(a)<f(a)< a < f^2(a)<f^4(a) $, dolayısıyla da $ f^n\not\in\left[f(a), f^2(a)\right] $ elde edeceğiz. $ a\in\left(f(a), f^2(a)\right) $ olduğu için de $c<a$ için $ f^n(a)\neq a $ elde etmiş olduk.
  
  Geriye sadece bir ihtimal kalıyor.
  $(iii)$ $ f^2(a) = c = a$.
  Bu durumda her $x$ için $f^2(x)=x$ olacaktır. Bu tarzda fonksiyonların genel tanımını ise şöyle yapabiliriz.
  $g$ azalan fonksiyonu; $0<k<1$ için $g:[0,k] \rightarrow [k,1]$, $g(0)=1$ ve $g(k)=k$  olacak şekilde tanımlansın.
  Bu durumda soruda aradığımız azalan $f$ fonksiyonları
  $$ f(x) =\left\{\begin{array}{ll}g(x) &\quad , 0\leq x\leq k\\ g^{-1}(x) &\quad , k < x\leq 1\end{array}\right. $$ şeklinde olacaktır.
  
  
• $f$ artan olsun.
  $f(0)=0$ ve $f(1)=1$ olacaktır.
  
  $(i)$ $ f(a)>a\Rightarrow f(f(a))>f(a)>a\Rightarrow f^n(a)>a $
  ve
  $(ii)$ $ f(a)<a\Rightarrow f(f(a))<f(a)<a\Rightarrow f^n(a)<a $
  olduğu için geriye sadece
  $(iii)$ $f(a)=a$
  kalıyor.
  Bu durumda tek artan $f$ fonksiyonu $f(x)=x$.
  

Not:
Bu sorunun benzeri, Analiz ve Cebirde İlginç Olimpiyat Problemleri ve Çözümleri kitabında (5. Basım - 2003, Syf. 220, Problem 6.19) geçmektedir.