Tübitak Lise 2. Aşama 2000 Soru 5

[geo]

Bir $a$ pozitif gerçel sayısı ve tepesi $A$ noktasında bulunan bir açı verilmiş olsun. $A$ dan geçen ve bu açının kenarlarını $\vert AB\vert +\vert AC\vert =a$ koşulunu sağlayan $B$ ve $C$ noktalarında kesen tüm çemberlerin $A$ nın dışında bir ortak noktasının daha bulunduğunu gösteriniz.

[geo]

$B' \in [AB$ ve $C' \in [AC$ olmak üzere  $AB'+AC'=AB+AC=k$ olsun. $B'B=CC'$ olduğu aşikar.

Bu iki üçgenin çevrel çemberleri $A$ dışında $A'$ noktasında kesişsin.

$AB'A'C'$ kirişler dörtgeninde $\angle A'B'B=\angle A'C'C$ ve $ABA'C$ kirişler dörtgeninde $\angle A'CC'=\angle ABB'$ olduğundan $\triangle A'BB'\sim \triangle A'C'C$ olur.
$BB'=CC'$ olduğundan $\triangle A'BB' \cong \triangle A'C'C$ yani $A'B=A'C$ ve $A'B'=A'C'$. Yani $AA'$, $BAC$ açısının açıortayıdır.

$AB'=AC'=\dfrac{a}{2}$ alındığında $A'$ noktası sabit bir üçgende açıortayın çevrel çemberi kestiği nokta, yani sabit bir nokta olacaktır.
Demek ki $\left(ABC\right)$ çemberlerinin hepsi $A'$ noktasından geçer.

[geo]

$\angle BAC=\alpha$ olsun. $\left(ABC\right)$ ile $A$ açısının açıortayı $P$ noktasında kesişsin. Ptolemy teoreminden $$\left(AB+AC\right)\cdot BP=AP\cdot BC.$$
$BCP$ üçgeninde Sinüs teoreminden $\dfrac{BC}{{\sin  \left({180}^{\circ }-\alpha\right)\ }}=\dfrac {BP}{\sin  \dfrac{\alpha}{2}\ }$ elde edilir.
İki eşitliği birleştirirsek $$AP=\dfrac{a}{2 \cos \dfrac{\alpha}{2}}=Sabit$$ elde ederiz. $AP$ sabit ve $|AP|$ sabit olduğuna göre $P$ noktası da sabittir. Tüm $ABC$ üçgenlerinin çevrel çembeleri sabit $P$ noktasından geçer.