Tübitak Lise 1. Aşama 2006 Soru 28

[ERhan ERdoğan]

$10$ şekeri olan Ali, her gün en az bir şeker yiyorsa, şekerlerinin tümünü günlere dağılımı itibariyle kaç değişik biçimde yiyebilir?

$
\textbf{a)}\ 64
\qquad\textbf{b)}\ 126
\qquad\textbf{c)}\ 243
\qquad\textbf{d)}\ 512
\qquad\textbf{e)}\ 1025
$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{D}$

Ali şekerleri en az $1$, en fazla $10$ günde yiyebilir. $k$ günde kaç farklı şekilde yiyebileceğine bakalım. Bu soru ile $$x_1+x_2+\cdots+x_k=10,~~x_i\geq 1 $$ dağılım sorusu denktir. $x_i=y_i+1$ dönüşümü yaparsak $$y_1+y_2+\cdots+y_k=10-k,~~y_i\geq 0 $$ olur. Bu dağılım sorusunun çözüm sayısı $\dbinom{10-k+k-1}{k-1}=\dbinom{9}{k-1}$'dır. $k=1,2,\dots,10$ için hesaplayıp toplarsak $$\dbinom{9}{0}+\dbinom{9}{1}+\cdots+\dbinom{9}{9}=2^9=512$$ elde edilir.