Tübitak Lise 1. Aşama 2006 Soru 01

[geo]

Bir $ABC$ eşkenar üçgeninde $[AB]$ ve $[AC]$ kenarlarının orta noktaları sırasıyla $D$ ve $E$; $[DE$ ışınının çevrel çemberi kestiği nokta da $F$ olmak üzere, $\dfrac {|DE|}{|DF|}$ nedir?

$
\textbf{a)}\ \dfrac 12
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac{\sqrt 3}3
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac 23 (\sqrt 3 - 1)
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac 23
\qquad\textbf{e)}\ \dfrac{\sqrt 5-1}2
$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{E}$

$ABC$ eşkenar üçgeninin bir kenar uzunluğu $2$ olsun. $DE \parallel BC$ olduğundan $ADE$ üçgeni de eşkenardır. $|DE|=|AE|=|EC|=1$ dir.  $DE$ doğrusunun çevrel çemberi kestiği ikinci nokta $G$ olsun. $|EF|=|DG|=x$ diyelim. $E$ noktasının çembere göre kuvvetinden $|EA|\cdot |EC|= |EF|\cdot |EG| $ olup $1\cdot 1 = x \cdot (x+1)$ denklemi elde edilir. Bu denklem çözülürse $x= \dfrac{\sqrt5 -1}{2}$ bulunur. $|DF|=x+1=\dfrac{\sqrt5 +1}{2}$ ve$ \dfrac{|DE|}{|DF|}= \dfrac{\sqrt5 -1}{2}$ dir.