$(a+b)(a+c)=a^2+ab+bc+ca \le a^2+1$ dir. $\dfrac{1}{a^2+1} + \dfrac{1}{b^2+1} + \dfrac{1}{c^2+1} \le \dfrac{2(a+b+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$ olur.
Lemma : $9(a+b)(b+c)(c+a) \ge 8(a+b+c)(ab+bc+ca)$
İspat: $(a+b)(b+c)(c+a)+abc=(a+b+c)(ab+bc+ca)$ olduğunu biliyoruz. Yerine koyarsak $9(a+b+c)(ab+bc+ca)-9abc \ge 8(a+b+c)(ab+bc+ca)$ ve $(a+b+c)(ab+bc+ca) \ge 9abc$ göstermemiz yeterli olur. Bu da $A.G.O$ dan barizdir.
O halde biz $8abc \left( \dfrac{1}{a^2+1} + \dfrac{1}{b^2+1} + \dfrac{1}{c^2+1} \right) \le \dfrac{16abc(a+b+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)} \le \dfrac{18abc}{ab+bc+ca}$ olduğunu gösterdik. Bundan sonra;
$a + b+c + \sqrt{3} \ge \dfrac{18abc}{ab+bc+ca}$ göstermemiz yeterli olacaktır. Düzenlersek;
$(a+b+c)(ab+bc+ca)+ \sqrt{3}(ab+bc+ca) \ge 18abc$ göstermeliyiz. $A.G.O$ dan $(a+b+c)(ab+bc+ca) \ge 9abc$ dir. O halde $\sqrt{3}(ab+bc+ca) \ge 9abc$ göstermemiz yeterlidir.
$A.G.O$ dan $ab+bc+ca \ge 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}$ idir. Verilen bilgiden $\dfrac{1}{3} \ge \dfrac{ab+bc+ca}{3} \ge \sqrt[3]{a^2b^2c^2}$ olur ve $\dfrac{1}{3\sqrt{3}} \ge abc$ olur. Buradan da $\sqrt{3}(ab+bc+ca) \ge 9abc$ elde ederiz. İspat biter. Eşitlik $a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ için sağlanır.
