Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2016 Soru 19

[ArtOfMathSolving]

Tüm $a,b,c$ gerçel sayıları için $a^2+2b^2+3c^2 \ge kc(a+b)$ eşitsizliğinin doğru olmasını sağlayan en büyük $k$ gerçel sayısı nedir?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad{b)}\ 1
\qquad{c)}\ 2
\qquad{d)}\ 3
\qquad{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[ArtOfMathSolving]

Yanıt:$\boxed{E}$

İfadeyi düzenleyelim, $a^2+2b^2+3c^2 \ge k(ac+bc)$. $ac$ ve $bc$ terimlerinden anlaşılacağı gibi $k$ yı bulmak için Aritmetik-Geometrik ortalama eşitsiziliği ni kullanacağız. 

İfadeyi $m+n=3$ olmak üzere $a^2+mc^2+2b^2+nc^2$ şeklinde düzenleyelim. Aritmetik-Geometrik ortalama eşitsiziliğinden

$\dfrac{a^2+mc^2}{2} \ge \sqrt{a^2c^2m} \Rightarrow \ge 2ac\sqrt{m}$

$\dfrac{2b^2+nc^2}{2} \ge \sqrt{b^2c^2n} \Rightarrow \ge 2bc\sqrt{2n}$

En büyük $k$ gerçeli $2ac\sqrt{m}=2bc\sqrt{2n}$ ve $m+n=3$ koşulunu sağlayan sayıdır. Buradan $m=2n$ ve $n=1$ bulunur

O halde eşitsizliği her gerçel $a,b,c$ için doğru kılan en büyük $k$ gerçel sayısı $2\sqrt{2}$ dir.