Eşkenar üçgenin iç teğet çemberi üzerinde bir nokta - Alan sorusu

[geo]

$ABC$ eşkenar üçgen ($A$, $B$, $C$ sırasıyla saat yönünde) ve $P$ bu üçgenin iç teğet çemberi üzerinde bir nokta olsun. $P$ nin $B$ nin etrafında saat yönünde $60^\circ$ döndürülmesiyle $P'$ noktası elde ediliyor. $\dfrac {\text{Alan}(\triangle ABC)}{\text{Alan}(\triangle APP')} = 4$ olduğunu gösteriniz.

[diktendik]

Öncelikle şunu düşünmeliyiz, eşkenar üçgen için iç teğet çember ve çevrel çember merkezleri çakışık olduğundan iç teğet çemberin üzerindeki herhangi bir noktanın çevrel çembere göre kuvveti sabittir ve eşkenar üçgenin bir kenarı $2$ ise bu kuvvet değeri $1$'dir. ($O,A$ ve teğet noktasından $30-60-90$) $CP\cap AP'=K$ olsun. $\angle{CPB}=x$ ise $\angle AP'P=x-60°$ olup $\angle P'PB=x+60°$ olduğundan $\angle PKP'=120°$'dir. $\angle AKC=60°$ olduğundan $K$ cevrel çember üzerindedir ve $P$'nin kuvveti $1$ olduğundan $CP=a$ ise $PK=\frac{1}{a}$'dır. $P$'den $AP'$ doğrusuna inen dikme ayağı $H$ ise $\angle AKC=60°$ olduğundan $PH=\frac{1}{a}\cdot \frac{\sqrt3}{2}$ olup $APP'$ üçgeninin alanı $\frac{\sqrt3}{4}$ olup üçgeninin alanı $\sqrt3$ birimkare olduğundan ispat biter.

[geo]

Çözüm için teşekkürler.

Sorunun daha genel halini şöyle ifade edebiliriz:

$ABC$ ikizkenar üçgeninde ($A,B,C$ sırasıyla saat yönünde ve $BA=BC$) olmak üzere; $O$ çevrel merkez ve $R$ de çevrel yarıçap olsun. $O$ merkezli $r$ yarıçaplı çember üzerinde bir $P$ noktası alalım. $P$ nin $B$ nin etrafında saat yönünde $\angle CBA$ kadar döndürülmesiyle $P'$ noktası elde edilsin. $\dfrac {\text{Alan}(\triangle ABC)}{\text{Alan}(\triangle APP')} = \dfrac {2 + 2\cos \angle CBA}{\left | 1 - \dfrac {r^2}{R^2} \right |}$ olduğunu gösteriniz.