Eşkenar üçgenin iç teğet çemberi üzerinde bir nokta

[geo]

$ABC$ eşkenar üçgeninin iç teğet çemberi üzerinde $\angle APC = 120^\circ$ olacak şekilde bir $P$ noktası alınıyor. $BC=4$ ise $BP$ nedir?

[diktendik]

İç teğet çemberin merkezi $O$ olsun $\angle AOC=120^\circ$ olduğundan $A,P,O,C$ çemberseldir. Bu çemberin merkezi $O_2$ olsun. $OO_2$, $[AC]$'nı ortaladığından $B$'den geçer. $|O_2O|=|O_2P|=\frac{4\sqrt3 }{3}, |OP|=\frac{2\sqrt3}{3}, |OB|=\frac{4\sqrt3}{3}$ olduğundan kosinüs teoremi yazılırsa $|BP|=2\sqrt2$ bulunur.

[geo]

Çözüm için teşekkürler.

Son adımda $\triangle PBO_2$ de, $PO$ nun kenarortay olmasından dolayı, kenarortay teoreminden de hızlıca sonuca gidebiliriz.

Bunun haricinde bu soru için aşağıdaki sorular da sorulabilir:

• $2|AP - CP| = BP \cdot \sqrt 2 = BC$
• $AP<CP$ durumunda $AP:BP:CP = \sqrt 5 - 1 : 2\sqrt 2 : \sqrt 5 + 1$

[geo]

$BC=a$, $\angle APC = \beta$ olduğunda, $APC$ nin çevrel merkezi ile $ABC$ nin iç merkezi üzerinden Stewart uygulandığında, $BP = \dfrac {a}{2} \sqrt {\dfrac {1 - 3\sqrt 3 \cot \beta}{1 - \sqrt 3 \cot \beta }}$ elde ediliyor.

$\beta = 120^\circ$ için $BP = \dfrac {a\sqrt 2}{2}$.

$\beta = 150^\circ$ için $BP = \dfrac {a\sqrt {10}}{4}$.

$\beta = 135^\circ$ için $BP = \dfrac {a\sqrt {4 - \sqrt 3}}{2}$.

$\beta = 165^\circ$ için $BP = \dfrac {a\sqrt {1 + \sqrt 3}}{2}$.

$\beta = 105^\circ$ için $BP = \dfrac {a\sqrt {10 - 2\sqrt 3}}{4}$.