Tübitak Lise 2. Aşama 2025 Soru 5

[matematikolimpiyati]

Bir $ABC$ üçgeninde $A, B, C$ noktalarından indirilen yükseklik ayakları sırasıyla $D, E, F$ ve diklik merkezi $H$ olsun. $H$ noktasından geçen bir $\ell$ doğrusu $EF, DF, DE$ doğruları ile sırasıyla $X, Y , Z$ noktalarında kesişiyor. $XBF$ ve $XCE$ üçgenlerinin çevrel çemberlerinin ikinci kesişim noktası $A_1$, $YCD$ ve $YAF$ üçgenlerinin çevrel çemberlerinin ikinci kesişim noktası $B_1$, $ZAE$ ve $ZBD$ üçgenlerinin çevrel çemberlerinin ikinci kesişim noktası $C_1$ olsun. $A_1D, B_1E$ ve $C_1F$ doğrularının noktadaş olduğunu gösteriniz.

[diktendik]

$BCEF,XBF,XCE$ çemberleri için kuvvet eksenleri $EC\cap BF=\{A\}$ noktasında kesiştiği için $A,A_1,X$ doğrusaldır. Benzer şekilde $Z,C,C_1$ ve $Y,B,B_1$ noktaları da doğrusaldır. $\angle BA_1X=\angle BFE$ ve $\angle CA_1X=\angle CEX$ olduğundan $\angle BA_1C=180^\circ-\angle ACB-\angle ACB=\angle BAC$ olup $A_1$ noktası $ABC$ çemberinin üzerindedir. Benzer şekilde $B_1,C_1$ de bu çember üzerindedir. $A_1D\cap (ABC)=\{K\}$ olsun. (Burada $(ABC)$ üçgenin çevrel çemberidir.) $A$ noktasına göre kuvvetten $H,D,A_1,X$ noktaları çemberseldir. Bu $(A_1XHD)$ çemberleriyle açı taşınırsa $\angle KA_1C=\angle XHF$ ve $C_1,C,F,H$ çembersel olduğundan $\angle KA_1C=\angle CC_1F$ olup $C_1F$ doğrusu $K$'den geçer. İspat tamamlanır.