Öncelikle $n=3$ için barizce çözüm kümesi $k=0,1,3$ olur. Belirtilen koşullar altında herhangi bir $k$ tamsayısı için en az bir parlak olmayan doğrunun $n$ noktadan geçmesi gerektiğini gösterirsek bir $n$ için koşulları sağlayan parlak doğru sayısı $m$, $n-1$ sayısı için $m-1$ parlak doğru sayısına denk olur ve tümevarımla parlak doğru sayısı $n=3$ durumundaki $0,1,3$ ile sınırlı olur. Şimdi en az bir parlak olmayan doğrunun $n$ adet noktadan geçtiğini gösterelim. Aksi durumda tüm parlak olmayan doğrular kenarları $n-2$'şer nokta içeren iç ücgensel bölgededir. $n-x$ parlak doğrulu konfigürasyon için bu iç bölgedeki $x$ parlak olmayan doğru en dış bölgedeki noktalardan en fazla $2$'şer tanesini keser, geriye kalan $n-x$ adet doğru parlak olmadığından ve şekilde en az 3'ü doğrusal olan noktalardan geçen tüm doğrular parlak olmayan olduğundan bu $n
-x$ doğru da bu dış kenarlarda en fazla 2'şer nokta keser ve dış kenarda en fazla $2n$ nokta kesilebilir fakat bu dış kenarlar toplam $3n-3$ nokta içerdiğinden $2n\geq 3n-3$ gelir. Çelişki. Yani en az bir parlak olmayan doğru $n$ adet noktadan geçer ve bu durumda $n$ için oluşan tüm durumlar $n-1$ için oluşan tüm durumların bir adet fazla parlak olmayan doğrulu versiyonudur. Cevap $k=0,1,3$ olur.
