Uluslararası Matematik Olimpiyatı 1988 Soru 1

[geo]

Aynı düzlemde bulunan ve merkezleri aynı olan $R$ ve $r$ ($R>r$) yarıçaplı iki çember veriliyor. $P$ küçük çember üzerinde sabit bir nokta ve $B$ büyük çember üzerinde değişken bir nokta olsun. $BP$ doğrusu büyük çemberi $C$ noktasında kesiyor. $BP$'ye $P$ noktasında dik olan $l$ doğrusu küçük çemberi $A$ noktasında kesiyor. (Eğer $l$, $P$ noktasında çembere teğet ise $A=P$ dir.)

• $BC^2+CA^2+AB^2$ ifadesinin aldığı değerlerin kümesini bulunuz.
• $AB$'nin orta noktasının geometrik yerini bulunuz.

[geo]

• $BP$ küçük çemberi ikinci kez $D$ noktasında kessin. $\angle APD = 90^\circ$ olduğu için $A$, $O$, $D$ doğrusaldır.
  $\triangle ABD$ de, $BO$ kenarortayı için $$AB^2 + BD^2 = 2(BO^2 + OD^2) = 2(R^2 + r^2)$$ $\triangle ACD$ de, $CO$ kenarortayı için $$AC^2 + CD^2 = 2(CO^2 + OD^2) = 2(R^2 + r^2)$$ Taraf tarafa toplarsak, $AB^2 + AC^2 + BD^2 + CD^2 = 4R^2 + 4r^2$
  $D$ noktasının büyük çembere göre kuvveti $BD \cdot DC = R^2 - OD^2 = R^2 - r^2$ olduğu için $$BC^2 = (BD+CD)^2 = BD^2 + CD^2 + 2\cdot BD \cdot CD = BD^2 + CD^2 - 2(R^2 - r^2)$$ Bu durumda $$AB^2 + AC^2 + BC^2 - 2(R^2 - r^2) = 4R^2 + 4r^2 \Rightarrow AB^2 + AC^2 + BC^2 = 6R^2 + 2r^2$$
• $AB$ nin orta noktası $M$ olsun. $AO=OD$ ve $AM=MB$ olduğu için $BD = 2\cdot OM$ dir. $PM=AM=MB$ olduğu için de $$MP^2+ OM^2 = \dfrac 14 (AB^2 + BD^2) = \dfrac 12(R^2 + r^2) = \text{Sabit}$$ Bu durumda, $M$ noktalarının geometrik yeri, $OP$ nin orta noktasına $S$ dersek, $S$ merkezli bir çemberdir. Kenarortay teoreminden $$OM^2 + MP^2 = 2(SO^2 + SM^2) \Rightarrow \dfrac 12(R^2 + r^2) = 2\left (\dfrac{r^2}4 + SM^2\right )$$ $$\Rightarrow SM^2 = \dfrac{R^2}4$$ O halde geometrik yer $OP$ nin orta noktasını merkez kabul eden $\dfrac{R}2$ yarıçaplı çemberdir.
  
  Geometrik yeri bulmanın bir diğer yolu şudur:
  
  $CO$ doğrusu büyük çemberi $E$ de kessin.
  $AP$ orta dikmesi $O$ dan geçer, aynı şekilde, $EB$ orta dikmesi de $O$ dan geçer. O halde $AEBP$ bir dikdörtgendir. $PE$ ile $AB$ köşegenleri birbirini ortalayacağı için $PE$ nin orta noktası da $M$ dir. $\triangle OPE$ üçgeninde $OP$ nin orta noktasına $S$ dersek, $OS=SP$ ve $PM=ME$ olduğu için $SM=\dfrac{OE}2 = \dfrac R2$ dir. Bu durumda, $M$ noktalarının geometrik yeri, $S$ merkezli $\dfrac R2$ yarıçaplı çemberdir.